Глава VI. Нётеровы кольца и модули

§ 1. Основные критерии.

Пусть А — кольцо и М — модуль (т. е. левый Л-модуль). Мы будем говорить, что модуль М нётеров, если он удовлетворяет одному из следующих трех условий:

(i) Всякий подмодуль в М конечно порожден.

(ii) Всякая возрастающая последовательность подмодулей в М

такая, что конечна.

(iii) Всякое непустое множество S подмодулей в М содержит максимальный элемент (т. е. такой подмодуль что для любого элемента N из содержащего имеем ).

Докажем теперь, что три предыдущих условия эквивалентны. . Предположим, что имеется возрастающая последовательность подмодулей в М. Пусть N — объединение всех . Тогда подмодуль N конечно порожден, скажем, элементами и каждая образующая лежит в некотором Следовательно, существует такой индекс у, что

Тогда

откуда вытекает равенство и наше утверждение доказано.

. Пусть - некоторый элемент из S. Если не максимален, то он содержится собственным образом в некотором подмодуле Если не максимален, то он содержится собственным образом в некотором подмодуле По индукции, если мы нашли подмодуль который не максимален, то он содержится в качестве собственного подмодуля в некотором подмодуле Таким образом, мы смогли бы построить бесконечную цепочку, что невозможно.

Пусть N — подмодуль в Если то существует элемент , не лежащий в

Продолжая по индукции, мы можем найти возрастающую последовательность подмодулей в N, а именно

включение в которой всякий раз собственное. Множество этих подмодулей содержит максимальный элемент, скажем подмодуль и этот конечно порожденный подмодуль, очевидно, должен быть равен N, что и требовалось показать.

Предложение 1. Пусть М—нётеров -модуль. Тогда всякий подмодуль а всякий фактормодуль модуля М нётеровы.

Доказательство. Наше утверждение очевидно для подмодулей (скажем, в силу первого условия). Что касается фактормодулей, то пусть N — некоторый подмодуль и — канонический гомоморфизм. Пусть - возрастающая цепочка подмодулей в и пусть . Тогда - возрастающая подмодулей в М, которая должна иметь максимальный элемент, скажем МТ, так что для что и доказывает наше утверждение.

Предложение 2. Пусть М — модуль, N — его подмодуль. Предположим, что N и нётеровы. Тогда М нётеров.

Доказательство. С каждым подмодулем L в М мы можем связать пару модулей:

Мы утверждаем: если -такие два подмодуля в М, что связанные с ними пары совпадают, то . Чтобы убедиться в этом, возьмем . В силу предположенного равенства существуют элементы и, такие, что Тогда

Так как то получаем отсюда, что и наше утверждение доказано. Если мы имеем возрастающую последовательность

то связанные с ними пары образуют возрастающую последовательность подмодулей в соответственно и эти последовательности должны стабилизироваться. Следовательно, наша последовательность также стабилизируется в силу предыдущего утверждения.

Предложения 1 и 2 могут быть суммированы в следующем утверждении: в точной последовательности модуль М нётеров тогда и только тогда, когда нётеровы.

Следствие. Пусть М — модуль и - его подмодули. Если и если оба модуля нётеровы, то М нётеров. Конечная прямая сумма нётеровых модулей нётерова.

Доказательство. Заметим сначала, что прямое произведение N X N нётерово, так как оно содержит N в качестве подмодуля, фактормодуль по которому изоморфен и применимо предложение 2. Имеет место сюръективный гомоморфизм

при котором пара (х, х), где переводится в . В силу предложения 1 отсюда вытекает, что М нётеров. Для конечных произведений (или сумм) предложение доказывается по индукции.

Кольцо называется нётеровым, если оно нётерово как левый модуль над собой. Это означает, что всякий левый идеал конечно порожден.

Предложение 3. Пусть А — нётерово кольцо и М — конечно порожденный A-модуль. Тогда М нётеров.

Доказательство. Пусть — образующие . Тогда существует гомоморфизм

произведения кольца А на себя раз, при котором

Этот гомоморфизм сюръективен. В силу следствия из предыдущего предложения произведение нётерово, и, следовательно, в силу предложения 1 модуль М нётеров.

Предложение 4. Пусть А — нётерово кольцо и - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда В нётерово.

Доказательство. Пусть — возрастающая цепочка левых идеалов в В, и пусть . Тогда образуют возрастающую цепочку левых идеалов в А, которая должна стабилизироваться, скажем, на Так как для всех , то наше предложение доказано.

Предложение 5. Пусть А — коммутативное нётерово кольцо, S — мультипликативное подмножество в А. Тогда кольцо нётерово.

Доказательство. Мы предоставляем доказательство читателю в качестве упражнения.