УПРАЖНЕНИЯ

Первые упражнения посвящены соотношениям ортогональности для коэффициентов матричных представлений. Эти соотношения являются несколько более общими, чем соотношения для характеров. Доказательства не зависят изложения, данного в тексте, и, следовательно, дают альтернативный подход к получению тех же результатов, не зависящий от предыдущей глаеы. Используются только лемма Шура и полная приводимость.

1. Пусть G — конечная группа, k — произвольное поле, Е, Р — простые -пространства и Н — линейный функционал на Е. Пусть Показать, что если Е, F неизоморфны, то

[Указание: для фиксированного у отображение является -гомоморфизмом Е в ] В частности, для любого функционала на

2. Показать, что утверждение упражнения 1 можно применить к каждому коэффициенту матричного представления группы G.

В предположении, что алгебраически замкнуто и имеет характеристику, не делящую порядок G, вывести соотношение ортогональности для двух различных неприводимых характеров группы G над к, где скалярное произведение двух функций определяется формулой

Как обычно, обозначает порядок группы

3. Пусть к — алгебраически замкнутое поле и Е — простое -пространство. Тогда любой -эндоморфизм пространства Е равен скалярному кратному тождественного. [Указание: тело конечномерно над k и, следовательно, совпадает с

4. Пусть поле к алгебраически замкнуто, причем его характеристика не делит порядок G, Е — векторное пространство размерности d над к.

(а) Пусть Н — функционал на — эндоморфизм, для которого

Показать, что . [Указание: элемент дополнить до подходящего базиса Е и вычислить след относительно этого

(б) Пусть — простое представление группы G, и пусть Тогда характеристика поля к не делит d и

Указание: для фиксированного у отображение

есть -гомоморфизм пространства Е в себя; следовательно, оно имеет вид для некоторого . В действительности оно равно

Для простоты мы написали а вместо . След этого выражения равен, с одной стороны, с другой стороны, Выберем Я, у так, чтобы Это показывает, что характеристика не делит d, и, значит, с можно выразить требуемым образом.]

(в) Если — функционалы на , то

5. (а) Пусть — характер представления упражнения 4. Показать, что [Указание: рассматривая как матричное представление, имеем

В частности, если — простые характеры и если положить

то

(б) Считая известным, что для показать, что где — размерность [Указание: записать и вычислить скалярное произведение с пользуясь соотношениями ортогональности, а также определениями.] Значения характера регулярного представления очевидны.

(в) Показать, что каждый элемент может быть представлен в виде суммы классов сопряженных элементов с коэффициентами в k и, следовательно, лежит в центре алгебры

(г) Пусть — любое пространство представления для — соответствующее представление G (или ) на Для пусть — такое отображение, что для Показать, что и что при . [Указание: отображение в силу (в) есть -гомоморфизм Е] в себя и поэтому в соответствии с упражнением 3 является скалярным кратным тождественного. Если взять след и использовать соотношения ортогональности между простыми характерами, то, как тривиально вычисляется, это кратное равно соответственно 1 или 0.]

(д) Показать, что

(е) Пусть а лежит в центре Тогда для любого i автоморфизм является кратным тождественного на скажем

Вывести отсюда, что а схех и что, следовательно, центр групповой алгебры над k имеет размерность точно s. В частности, имеется точно s классов сопряженных элементов которые также образуют базис центра [Указание: линейная комбинация действует на каждом так же, как и а. Поскольку изоморфна прямой сумме отсюда вытекает, что а равно этой линейной комбинации.]

6. Пусть -функция классов. Показать, что

Для двух функций классов вывести формулу Планшереля, а именно

7. Пусть обозначает представление унитарными матрицами на и пусть — коэффициенты этих матриц, рассматриваемые как функции на ). Показать, что эти функции образуют ортогональный базис относительно эрмитовой метрики пространства функций на G и что, следовательно, для любой функции (не обязательно функции классов) мы имеем

8. Следующий формализм аналогичен артиновскому формализму L-рядов в теории чисел. (См. работу Артина „Zur Theorie der L-Reihen mit allgemei-nen Gruppencharakteren" (Агtin E., Collected papers, 196S), а также LangS., L-series of a covering, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956.)

Мы рассматриваем некоторую категорию с объектами Как обычно, мы говорим, что конечная группа G действует на U, если задан гомоморфизм При этом мы говорим, что U есть -объект, а также, что есть представление G на U. Мы говорим, что G действует тривиально, если Для простоты мы будем опускать в обозначениях. Под -морфизмом между -объектами понимают такой морфизм, что для всех

Мы будем предполагать, что для всякого -объекта U существует объект на котором G действует тривиально, и -морфизм обладающий следующим универсальным свойством. Для всякого -морфизма U V, где V — -объект, на котором G действует тривиально, существует однозначно определенный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутативна:

Тогда если — произвольный -морфизм, то существует однозначно определенный морфизм для которого коммутативна следующая диаграмма:

Показать, в частности, что если Н — нормальная подгруппа в G, то естественным образом действует на

Пусть k — алгебраически замкнутое поле характеристики 0. Предположим, что задан некоторый функтор Е из нашей категории в категорию конечномерных -пространств. Если U — объект из нашей категории и — некоторый морфизм, то получаем гомоморфизм

(Читатель может иметь в виду частный случай, когда мы имеем дело с категорией подходящих топологических пространств, а Е — гомологический функтор некоторой данной размерности.)

Если G действует на U, то в силу функториальности мы получаем действие G на

Пусть U — некоторый -объект, — -морфизм и — характеристический многочлен линейного отображения . Положим

и будем называть это выражение дзета-функцией F. Если F — тождественный морфизм, то где В(U) обозначает

Пусть — простой характер группы — размерность простого представления группы G, принадлежащего

Определим линейное отображение на Е (U), положив

Показать, что и Для любого положительного целого числа имеет место равенство

Пусть — характеристический многочлен отображения Полагаем

Показать, что логарифмическая производная этой функции равна

Определяем для произвольных характеров по линейности. Если то, допуская вольность в обозначениях, мы будем также писать Тогда для любых имеем по определению

Сделаем одно дополнительное предположение.

Предположим, что характеристический многочлен отображения

равен характеристическому многочлену на Доказать следующие утверждения:

(а) Если то

(б) Пусть Тогда

(в) Пусть H — подгруппа в — некоторый характер Н. Пусть, далее, — индуцированный характер с Н на G. Тогда

(г) Пусть подгруппа Н нормальна в G. Тогда действует на Пусть — некоторый характер — характер G, получаемый композицией с каноническим отображением — морфизм, индуцированный на Тогда

(д) Показать, что если , то делит Использовать регулярный характер для получения разложения в произведение.