§ 4. Кольца главных идеалов

И в этом параграфе «кольцо» означает «коммутативное кольцо».

Пусть А — целостное кольцо. Элемент называется неприводимым, если он не является единицей и если из равенства следует, что b или с — единица.

Пусть — некоторый элемент в А, и пусть главный идеал (а) простой. Тогда а неприводим. Действительно, если то один из множителей, скажем b, лежит в (а). Тогда мы можем написать где d — некоторый элемент из А и, следовательно, . Поскольку А целостное, отсюда следует, что другими словами, что единица.

Утверждение, обратное предыдущему, верно не всегда. Мы обсудим, при каких условиях оно верно. Говорят, что элемент , обладает однозначным разложением на неприводимые элементы, если в А существуют единица и и неприводимые элементы , такие, что

причем для двух таких разложений на неприводимые элементы

мы имеем и после перестановки индексов где — некоторые единицы в

Отметим, что если — неприводимый элемент и и — единица, то - тоже неприводимый элемент, так что при разложении на множители мы должны допускать умножение на единицы. В кольце целых чисел Z отношение порядка позволяет нам выделить один неприводимый элемент (положительное простое число) из двух возможных (а именно, ), отличающихся друг от друга на множитель, являющийся единицей. В более общих кольцах это, конечно, невозможно.

Допуская в предыдущем равенстве , мы принимаем соглашение, что всякая единица кольца А имеет разложение на неприводимые элементы.

Кольцо называется факториальным (или кольцом с однозначным разложением на множители), если оно целостное и если всякий элемент имеет однозначное разложение на неприводимые элементы. Мы докажем ниже, что всякое целостное кольцо главных идеалов факториально.

Пусть А — целостное кольцо и . Мы говорим, что а делит b, и пишем если существует элемент для которого

Мы говорим, что элемент является наибольшим общим делителем (сокращенно н. о. д.) элементов а и b, если и если любой элемент , делящий и а, и b, делит также

Предложение 2. Пусть А — целостное кольцо главных идеалов и . Если , то с — наибольший общий делитель элементов а и b.

Доказательство.. Так как b лежит в идеале (с), то для некоторого или, что то же самое, . Аналогично . Пусть d делит и а, и b, т. е. где . Так как с лежит в , то

с некоторыми Тогда откуда и наше предложение доказано.

Теорема 1. Всякое целостное кольцо А главных идеалов факториально.

Доказательство. Мы докажем сначала, что всякий ненулевой элемент в А имеет разложение на неприводимые элементы. Обозначим через S — множество главных идеалов , образующие которых не имеют разложения на неприводимые элементы; предположим, что S не пусто. Пусть (а) лежит в S. Рассмотрим произвольную возрастающую цепочку

идеалов из S. Мы утверждаем, что она не может быть бесконечной. Действительно, объединение идеалов такой цепочки будет идеалом в А, причем главным, равным, скажем (а). Образующая а должна лежать в некотором элементе цепочки, скажем в а тогда

откуда вытекает, что цепочка обрывается на Следовательно любой идеал в А, содержащий имеет образующую допускающую разложение на неприводимые множители.

Заметим теперь, что элемент не может быть неприводимым он имел бы разложение) и, следовательно, где ни b, ни с не являются единицей. Но тогда , а потому и b, и с обладают разложениями на неприводимые множители. Произведение этих разложений будет разложением для вопреки предположению, что S не пусто.

Чтобы доказать единственность, заметим сначала, что если — неприводимый элемент в , то или .

Доказательство. Если , то н. о. д. элементов и а равен 1 и, следовательно,

для некоторых . Тогда , а поскольку , мы заключаем, что .

Предположим теперь, что а имеет два разложения

на неприводимые элементы. Так как делит произведение, стоящее справа, то делит один из его сомножителей, причем после их перенумерации мы можем считать, что это . Тогда найдется единица для которой . Сокращая оба разложения на , получаем

Доказательство завершается по индукции.

Можно было бы называть два элемента эквивалентными, если существует единица и, такая, что Выберем по одному элементу из каждого класса эквивалентности, состоящего из неприводимых элементов, и обозначим через Р множество таких представителей. Пусть Тогда существуют единица и и целые числа равные 0 для почти всех такие, что

При этом единица и и целые числа однозначно определены элементом а. Мы называем порядком элемента а в , обозначая его также символом .

Если А — факториальное кольцо, то всякий неприводимый элемент порождает простой идеал (). Поэтому в факториальном кольце неприводимые элементы будут также называться простыми.

Заметим, что можно обычным способом определить понятие наименьшего общего кратного (н. о. к.) конечного числа ненулевых элементов кольца А. Именно, мы полагаем н. о. к. элементов равным любому элементу , удовлетворяющему условию

для всех простых элементов из А. Такой элемент с определен однозначно с точностью до множителя, являющегося единицей.

Мы говорим, что ненулевые элементы взаимно просты, если . Это означает, что н. о. д. элементов а и b есть единица.

Пример Кольцо целых чисет Z факториально. Его группа единиц состоит из . Естественно брать в качестве представителя класса эквивалентности данного простого элемента положительный простой элемент (называемый простым числом) при возможном выборе из двух элементов .

Аналогично, как мы покажем позднее, кольцо многочленов от одной переменной над полем факториально, и в качестве представителей простых элементов в этом кольце обычно выбирают неприводимые многочлены со старшим коэффициентом 1.