Глава XII. Абсолютные значения

§ 1. Определения, зависимость и независимость

Пусть К — поле. Абсолютное значение v на К — это вещественнозначная функция на К, удовлетворяющая следующим трем условиям:

А3 1. для всех тогда и только тогда, когда

А3 2.

А3 3.

Если вместо АЗ 3 абсолютное значение удовлетворяет более сильному условию

А3 4.

то мы будем говорить, что оно является нормированием или что оно неархимедово. Абсолютное значение, для которого при всех называется тривиальным.

Имея дело с одним фиксированным абсолютным значением, мы будем писать вместо и говорить о как об абсолютном значении.

Абсолютное значение на К определяет метрику. Расстояние между двумя элементами х, у из К в этой метрике равно . Таким образом, абсолютное значение определяет топологию на К. Два абсолютных значения называются зависимыми, если они определяют одну и ту же топологию. В противном случае они называются независимыми.

Отметим, что откуда

Кроме того, для всех для

Предложение 1. Пусть - нетривиальные абсолютные значения на поле К. Тогда для их зависимости необходимо и достаточно, чтобы из соотношения

следовало Если они зависимы, то существует число такое, что для всех

Доказательство. Если два абсолютных значения зависимы, то наше условие выполняется, поскольку множество тех для которых совпадает с множеством тех для которых при . Обратно, предположим, что условие теоремы выполняется. Тогда из следует поскольку По предположению существует элемент для которого Пусть Положим

Пусть . Тогда для некоторого числа а. Если — такие целые числа, что причем , то

откуда

и, значит,

Отсюда вытекает, что Следовательно,

Аналогично доказывается обратное неравенство и, таким образом, получаем

для всех . Утверждение, что теперь очевидно.

Дадим несколько примеров абсолютных значений.

Рассмотрим сначала поле рациональных чисел. Имеем прежде всего обычное абсолютное значение, а именно для любого положительного целого числа .

Для всякого простого числа имеем -адическое абсолютное значение определяемое формулой

где — целое число, а — целые числа не делящиеся на . Непосредственно видно, что адическое абсолютное значение неархимедово.

Аналогичное определение нормирования можно дать для любого поля К, являющегося полем частных кольца главных идеалов. Пусть, например, где -некоторое поле и -переменная над k. Для всякого неприводимого многочлена из имеем нормирование определяемое так же, как в поле рациональных чисел, но с тем отличием, что здесь нет естественного способа его нормализовать.

Поэтому выбираем число с, такое, что и для любой рациональной функции , где — многочлены, не делящиеся на , полагаем

Разные значения постоянной с приводят к зависимым нормированиям.

Всякое подполе поля комплексных чисел (или вещественных чисел) обладает абсолютным значением, индуцированным обычным абсолютным значением в поле комплексных чисел. Позднее мы увидим, как можно получать абсолютные значения на некоторых полях, вкладывая их в другие поля, которые уже снабжены естественными абсолютными значениями.

Предположим, что определенное на некотором поле абсолютное значение ограничено на простом кольце (т. е. кольце целых чисел Z, если характеристика равна 0, и кольце целых чисел если характеристика равна ). Тогда это абсолютное значение непременно неархимедово.

Доказательство. Для любых элементов любого положительного целого числа имеем

Извлекая из обеих частей корпи степени и устремляя к бесконечности, получаем доказательство нашего утверждения. Отметим, что предпосылка утверждения всбгда выполнена в случае характеристики поскольку в этом случае простое кольцо конечно!

Мы отсылаем читателя к любой другой книге, где рассматриваются абсолютные значения, за доказательством того факта, что всякое архимедово абсолютное значение на поле рациональных чисел зависит от обычного абсолютного значения. Этот факт по существу бесполезен (и нигде не используется в дальнейшем), так как мы всегда исходим из конкретно заданного множества абсолютных значений на интересующем нас поле.

В предложении 1 мы получили сильное условие, которому должны удовлетворять зависимые абсолютные значения. Теперь мы получим условие, которому удовлетворяют независимые абсолютные значения.

Аппроксимационная теорема (Артин—Уэилз). Пусть К - поле и - нетривиальные попарно независимые абсолютные значения на К. Пусть — элементы из Тогда существует элемент такой, что

для всех

Доказательство. Рассмотрим сначала два из наших абсолютных значений, скажем . По условию мы можем найти элемент такой, что Аналогично мы можем найти элемент , такой, что Положим Тогда

Теперь докажем, что существует элемент такой, что для . Доказываем это по индукции. Случай был только что рассмотрен. Предположим, что мы нашли элемент удовлетворяющий условиям

Если , то элемент для достаточно большого будет удовлетворять нашим требованиям.

Если , то последовательность

стремится к 1 относительно и стремится к 0 относительно . Ясно, что при достаточно большом элемент удовлетворяет нашим требованиям.

Используя только что построенный элемент z, мы видим, что последовательность стремится к 1 относительно и к 0 относительно для Поэтому для всякого i мы можем построить элемент который очень близок к 1 относительно и очень близок к 0 относительно . Тогда элемент

удовлетворяет требованиям теоремы.