Если Е - образующий, то существует сюръективный гомоморфизм
(мы можем взять
конечным, так как R конечно порождено одним элементом 1).
Теорема 8 (Морита). Всякий образующий Е сбалансирован и конечно порожден над R (Е).
Доказательство (Фейт). Докажем сначала, что для любого модуля F модуль
сбалансирован. Отождествляем R и F в
с подмодулями
соответственно. Для
пусть
— отображение, при котором
Тогда любой элемент
коммутирует с
и с каждым
Отсюда мы тотчас заключаем, что
и что, следовательно,
-сбалансированный. Пусть Е — образующий и
— сюръективный гомоморфизм. Так как
- свободный модуль, то
для некоторого модуля F, так что
— сбалансированный. Пусть
Тогда
коммутирует со всяким элементом
из
(с компонентами
) и, следовательно, существует некоторый
такой, что
. Следовательно,
чем доказано, что Е — сбалансированный, поскольку X, очевидно, инъективно.
Чтобы доказать, что Е конечно порожден над
), рассмотрим изоморфизмы аддитивных групп
Они будут также, очевидно, изоморфизмами
-модулей, если мы определим операцию из R как композицию отображений (слева). Так как модуль
-изоморфен Е относительно отображения
то Е является
-гомоморфным образом модуля
и, следовательно, конечно порожден над R, что и доказывает теорему.
Пример. Пусть R — кольцо, не содержащее двусторонних идеалов, отличных от 0 и R. Если L — левый идеал
то
- образующий, так как
и, следовательно,
для подходящих элементов
. Таким образом, теорема S является следствием теоремы 8.