§ 12. Спектральная теорема (эрмитов случай)

В этом параграфе Е будет конечномерным векторным пространством над С размерности снабженным положительно определенной эрмитовой формой .

Пусть - линейное отображение (т. е. С - линейное отображение) пространства Е в себя. Для фиксированного отображение есть линейный функционал и, следовательно, существует однозначно определенный элемент , такой, что

для всех . Определим отображение положив . Непосредственно ясно, что отображение А линейное; мы будем называть А сопряженным к А относительно нашей эрмитовой формы.

Тривиально проверяются следующие формулы для произвольных линейных отображений А, В пространства Е в себя:

Линейное отображение А называется самосопряженным (или эрмитовым), если

Предложение 5. Отображение А тогда и только тогда эрмитово, когда вещественно для всех

Доказательство. Пусть А эрмитово. Тогда

откуда вытекает, что вещественно. Обратно, предположим, что вещественно для всех . Тогда

и, значит, для всех

Следовательно, в силу поляризации.

Пусть — линейное отображение, Элемент называется собственным вектором отображения , если существует такое что . Если , то мы будем говорить, что X — собственное значение отображения , принадлежащее

Предложение 6. Пусть А эрмитово. Тогда все собственные значения отображения А вещественны. Если — собственные векторы , обладающие собственными значениями соответственно, и если то .

Доказательство. Пусть X — собственное значение, принадлежащее собственному вектору 0. Тогда и эти два числа равны соответственно Так как то т. е. к вещественно. Далее, предположим, что и , таковы, как описано выше. Тогда

откуда вытекает, что

Лемма. Пусть — линейное отображение и Тогда у А существует по крайней мере один ненулевой собственный вектор.

Доказательство. Рассмотрим - кольцо, порожденное А над С. Как векторное пространство над С оно содержится в кольце эндоморфизмов пространства Е, имеющем такую же конечную размерность, какова размерность кольца всех матриц размера , где Следовательно, существует ненулевой многочлен Р с коэффициентами в С, для которого Разложим Р в произведение линейных множителей

где . Тогда . Следовательно, все множители не могут быть изоморфизмами, а потому существует такое, что изоморфизм. Значит, в его ядре имеется элемент и мы получаем, что Это показывает, что , — ненулевой собственный вектор, что и требовалось.

Спектральная теорема (эрмитов случай). Пусть Е—ненулевое векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определенной эрмитовой формой. — эрмитово линейное отображение. Тогда Е обладает ортогональным базисом, состоящим из собственных векторов А.

Доказательство. Пусть — некоторый ненулевой собственный вектор с собственным значением и — подпространство, порожденное Тогда Л отображает в себя, поскольку

а потому перпендикулярно

Так как то и, поскольку наша эрмитова форма невырождена (будучи положительно определенной), имеем

Ограничение нашей формы на является положительно определенным (если ). Из предложения 5 тотчас видно, что ограничение А на эрмитово. Следовательно, мы можем завершить наше доказательство по индукции.

Следствие 1. В предположениях теоремы существует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов А.

Доказательство. Разделим каждый вектор ортогонального базиса на его норму.

Следствие 2. Пусть Е — ненулевое векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определенной эрмитовой формой Пусть g — другая эрмитова форма на Е. Тогда существует базис в Е, ортогональный и для и для

Доказательство. Будем писать . Так как форма будучи положительно определенной, неособая, то существует однозначно определенное эрмитово линейное отображение А, такое, что для всех . Применим теорему к А и найдем описанный в ней базис, скажем Пусть — собственное значение, такое, что . Тогда

а потому наш базис ортогонален также для g, что и требовалось показать.