УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть к — поле, — конечное расширение , причем многочлен сепарабелен, и —произвольное расширение над к. Показать, что к — прямая сумма полей. Показать, что если поле к алгебраически замкнуто, то эти поля соответствуют вложениям в к.

2. Пусть k — поле, — неприводимый многочлен над k и а — корень . Показать, что к к изоморфно как -алгебра фактор-кольцу к

3. Доказать предложение 14, построив естественный гомоморфизм и сравнив размерности левой и правой частей равенства.

4. Предположим, что группа G в § 8 тривиальна, и будем писать К вместо К (1). Для положим

Показать, что

5. На модуле Е над коммутативным кольцом задана билинейная форма. Объяснить, как действует расширение основного кольца: если — гомоморфизм коммутативных колец, то определить естественную билинейную форму на над к

6. Пусть к — коммутативное кольцо. Обозначим через модуль. -линейных знакопеременных отображений -модуля Е в к (т. е. модуль -линейных знакопеременных форм на Е). Положим, далее, и

Показать, что — градуированная -алгебра, умножение в которой определяется следующим образом. Если — элементы из Е, то

где сумма берется по всем перестановкам а множества таким, что

7. Пусть Е — свободный модуль размерности над коммутативным кольцом к, — линейное отображение и где — эндоморфизм в себя, индуцированный Имеем

и если

Показать, что

[Указание: как обычно, доказать утверждение для случая, когда представляется матрицей с переменными коэффициентами над кольцом целых чисел.] Интерпретировать в терминах коэффициентов характеристического многочлена отображения

8. Пусть Е — конечномерный свободный модуль над коммутативным кольцом к, Е — его дуальный модуль. Показать, что для всякого целого — модули, дуальные друг другу относительно билинейного отображения, такого, что

где, как обычно, есть значение на для

9. В обозначениях предыдущего упражнения пусть F — другой -модуль, свободный и конечномерный и — линейное отображение. Показать, что сопряженным к относительно билинейного отображения из предыдущего упражнения будет знакопеременная степень сопряженного к отображения.

10. Пусть Р — алгебра некоммутативных многочленов от переменных над полем к, — различные элементы из (т. е. линейные выражения от переменных ) Показать, что если

для всех целых , то для . [Указание’, взять гомоморфизм в алгебру коммутативных многочленов и проводить рассуждения

11. Пусть G — конечное множество эндоморфизмов конечномерного векторного пространства Е над полем к. Для всякого пусть — элемент из k. Показать, что если

для всех целых то для всех [Указание: использовать предыдущее упражнение и предложение 11.]

12. (Стейнберг). Пусть О — конечный моноид, — моноидная алгебра над некоторым полем k и (т. е. инъективное) представление, так что мы можем отождествить G с некоторым мультипликативным подмножеством в Показать, что индуцирует представление группы G на , откуда по линейности получается представление алгебры к на . Показать, что если для всех целых , то [Указание: применить предыдущее упражнение.]

13. Когда вы прочитаете главу о представлениях конечных групп, выведите из упражнения 12 следующую теорему Бернсайда. Пусть G — конечная группа, k — поле характеристики, взаимно простой с порядком — конечномерное - пространство, такое, что представление группы G — точное. Тогда всякое неприводимое представление встречается с кратностью в некоторой тензорной степени