Глава XVIII. Представления конечных групп

§ 1. Полупростота групповой алгебры

Пусть k — поле и — группа. Образуем групповую алгебру Как объяснялось в гл. V, § 1, она состоит из всех формальных линейных комбинаций

с коэффициентами почти все из которых равны 0. Произведение берется естественным образом:

Пусть Е — векторное пространство над k. Всякий гомоморфизм алгебр

индуцирует гомоморфизм групп

и таким образом, представление кольца в Е порождает представление группы G. Если задано такое представление, то мы будем также говорить, что или G действует на Е. Отметим, что задание представления превращает Е в модуль над кольцом

Обратно, если задано представление группы, скажем , то мы можем следующим образом продолжить до представления алгебры Пусть Положим

Непосредственно проверяется, что этим определено продолжение до кольцевого гомоморфизма . Мы будем говорить, что представление — точное на G, если отображение инъективно. Продолжение на может, однако, и не быть точным.

Имея дело с фиксированным представлением группы G на Е, мы часто будем писать вместо Векторное пространство Е

вместе с представлением будет называться -модулем или -пространством, а также -пространствомч если нам захочется специально отметить поле Напомним, что если - модули, то -гомоморфизмом называется такое -линейное отображение что для всех

Отметим, что ядром заданного -гомоморфизма служит -подмодуль в Е и что - факторпространство допускает, и притом единственным образом, такое действие G, что каноническое отображение является -гомоморфизмом.

Если G действует на -пространствах Е и F, то мы можем естественным образом определить действие G на Нош Действительно, положим для

Тогда Чтобы не произошло путаницы с композицией а и мы, когда нам потребуется иметь дело с такой итерацией, будем писать для обозначения отображения и аналогично о. Отметим, что является -гомоморфизмом в том и только в том случае, если для всех

Пусть Е-G - модуль. Мы будем обозначать через подмодуль, состоящий из всех элементов таких, что для всех

Под тривиальным представлением мы будем понимать представление, при котором Представление тривиально тогда и только тогда, когда для всех и всех В этом случае мы будем также говорить, что G действует тривиально. Это можно еще записать в виде

Пусть G — конечная группа и -модуль. Мы можем определить операцию являющуюся -гомоморфизмом, а именно положив

Отметим, что элементы лежат в т. е. неподвижны относительно действия всех элементов G. Действительно,

а умножение слева на лишь переставляет элементы из

Если, в частности, — -гомоморфизм -модулей, то является -гомоморфизмом.

Предложение 1. Пусть — конечная группа, Е, Е, F, F — -модули и

— -гомоморфизмы, причем — -гомоморфизмы.

Тогда

Доказательство. Имеем

Теорема 1 (Машке). Пусть G — конечная группа порядка и поле, характеристика которого не делит n. Тогда групповое кольцо полупросто.

Доказательсто. Пусть Е — -модуль и F — -подмодуль. Так как поле, то существует -подпространство F, такое, что Е будет -прямой суммой F и F. Проекция на F есть -линейное отображение Очевидно, для всех . Положим 1

Имеем два -гомоморфизма

причем j — вложение и . Отсюда вытекает, что Е есть - прямая сумма F и , чем и доказано, что полупросто.

Во всем последующем мы будем предполагать, что G — конечная группа и что все векторные пространства Е над конечномерны. Через мы обычно обозначаем порядок группы G. Всюду предполагается, что характеристика поля не делит .