Глава III. Модули

§ 1. Основные определения

Пусть А — кольцо. Левый модуль над А, или левый А-модуль М, — это абелева группа, обычно (записываемая аддитивно, вместе с некоторым действием А на М при этом А рассматривается как мультипликативный моноид согласно КО 2), таким, что для всех а, выполнены соотношения

Мы предоставляем читателю доказать, что и что . По определению действия .

Аналогичным образом определяют правый А-модуль. Мы будем иметь дело только с левыми А-модулями, если не оговорено противное, и поэтому будем называть их просто А-модулями или даже модулями, когда ясно, о каком кольце идет речь.

Примеры.

Отметим, что А есть модуль над собой.

Любая коммутативная группа является Z-модулем.

Аддитивная группа, состоящая из одного является модулем над любым кольцом.

Любой левый идеал в А есть модуль над А.

Пусть S — непустое множество и М — некоторый А - модуль. Множество отображений будет -модулем. Мы уже отмечали раньше, что это коммутативная группа. Если теперь , то считаем отображением, для которого Аксиомы модуля проверяются тривиально.

В остальной части этого параграфа мы будем иметь дело с фиксированным кольцом А и, таким образом, можем опускать приставку

Пусть М — модуль. Под подмодулем N в М мы понимаем такую аддитивную подгруппу, что Очевидно, N есть модуль (с действием, индуцированным действием А на М).

Пусть a — левый идеал и М — модуль. Множество всех элементов

где будет, очевидно, подмодулем в М.

Имеет место ассоциативность, а именно для любых левых идеалов а, b

Имеют место также некоторые очевидные соотношения дистрибутивности, например . Если N и — подмодули в М, то .

Пусть - модуль и - его подмодуль. Определим структуру модуля на факторгруппе (для уже имеющейся структуры аддитивной группы). Пусть некоторый смежный класс группы М по N, и пусть Мы определяем как смежный класс Тривиально проверяется, что так введенное действие правильно определено (т. е. если у лежит в том же смежном классе, что и то лежит в том же смежном классе, что и ) и что оно удовлетворяет всем необходимым условиям, так что превращается в модуль, называемый фактормодулем модуля М по

Под гомоморфизмом модулей понимается отображение

одного модуля в другой (над тем же самым кольцом А), которое является гомоморфизмом аддитивных групп и для которото

при всех . Ясно, что класс А-модулей образует категорию, морфизмами в которой служат гомоморфизмы модулей, обычно называемые просто гомоморфизмами, если это не приводит к путанице. Когда желают явно указать кольцо А, то говорят, что является А-гомоморфизмом, или также, что -линейное отображение.

Тождественное отображение всякого модуля на себя является гомоморфизмом. Для любого модуля М отображение : такое, что для всех является гомоморфизмом, называемым нулевым.

Пусть М — модуль и - его подмодуль. Тривиально проверяется, что канонический гомоморфизм аддитивных групп

является также гомоморфизмом модулей. Столь же тривиально проверяется, что он универсален в категории гомоморфизмов модуля М, ядро которых содержит

Если — гомоморфизм модулей, то его ядро и образ являются подмодулями в М и М соответственно (тривиальная проверка). Канонические гомоморфизмы, рассмотренные в гл. 1, § 4, переносятся с необходимыми изменениями и на модули. Для удобства читателя приведем сводку этих гомоморфизмов.

Пусть — два подмодуля модуля М. Тогда будет также подмодулем и имеет место изоморфизм

Если - модули, то

Если - гомоморфизм модулей и - подмодуль в М, то есть подмодуль в и имеет место канонический инъективный гомоморфизм

Если гомоморфизм сюръективен, то -изоморфизм модулей.

Доказательства сводятся к проверке того, что все гомоморфизмы, с которыми мы имели дело, занимаясь абелевыми группами, являются теперь А - гомоморфизмами модулей. Эту проверку мы предоставляем читателю.

Отметим, что, как и в случае групп, гомоморфизм модулей, являющийся биективным отображением, будет изоморфизмом модулей. Здесь вновь доказательство то же, что и для групп (нужно только заметить, что обратное отображение, являющееся, как мы знаем, изоморфизмом групп, есть на самом деле изоморфизм модулей). Проверка снова предоставляется читателю.

Как и в случае абелевых групп, мы называем последовательность гомоморфизмов модулей

точной, если . С подмодулем N модуля М ассоциируется точная последовательность

где отображение N в М есть включение, а последующее отображение — каноническое. Понятие точности принадлежит Эйленбергу — Стинроду.