§ 3. Продолжение гомоморфизмов

Когда мы рассматривали процесс локализации, мы очень коротко остановились на вопросе о продолжении гомоморфизма на локальное кольцо. При изучении теории полей мы также привели одну теорему продолжения для вложений одного поля в другое. Теперь мы разберем вопрос о продолжении в полной общности.

Напомним сначала случай локального кольца. Пусть А — кольцо и — некоторый простой идеал. Как мы знаем, локальное кольцо — это множество всех дробей где Его максимальный идеал состоит из дробей, у которых . Пусть — гомоморфизм, ядром которого служит . Тогда мы можем продолжить до гомоморфизма в L, положив

где, как и выше, — элемент из

Далее, мы имеем целые расширения колец. Пусть — локальное кольцо с максимальным идеалом — целое расширение над — гомоморфизм о в некоторое алгебраически замкнутое поле L. Предположим, что ядром служит . В силу предложения 9 из § 1 в В существует максимальный идеал лежащий над , такой, что . Тогда есть поле, являющееся алгебраическим расширением поля изоморфно подполю в L, поскольку ядро совпадает с

Мы можем выбрать такой изоморфизм поля на что композиция гомоморфизмов

будет равна Вложим теперь в L так, чтобы сделать коммутативной диаграмму

и получить таким образом гомоморфизм В в L, продолжающий

Предложение 16. Пусть А — подкольцо в В, причем В — целое над А. Пусть - гомоморфизм в некоторое алгебраически замкнутое поле L. Тогда обладает продолжением до гомоморфизма В в

Доказательство. Пусть — ядро и S — дополнение к в А. Мы имеем коммутативную диаграмму

и может быть пропущен через канонический гомоморфизм кольца А в

Кроме того, кольцо целое над Это сводит вопрос к уже рассмотренному выше случаю с локальным кольцом.

Теорема 1. Пусть А — подкольцо поля К и . Пусть - гомоморфизм А в алгебраически замкнутое поле L. Тогда допускает продолжение до гомоморфизма в L либо кольца либо кольца

Доказательство. Мы можем продолжить до гомоморфизма локального кольца , где - ядро . Таким образом, не теряя общности, мы можем считать, что — локальное кольцо с максимальным идеалом Предположим, что

Тогда

где . Умножив на получим

с надлежащими элементами . У нас так что и, следовательно, есть единица в А, поскольку предполагается, что А — локальное кольцо. Разделив на мы видим, что элемент — целый над А и что, следовательно, наш гомоморфизм, обладает продолжением на

Если, напротив, мы имеем, что

то содержится в некотором максимальном идеале кольца и идеал содержит . Поскольку m максимальный, мы должны иметь . Так как и каноническое отображение имеют одно и то же ядро, а именно то мы можем найти вложение поля в L, такое, что композиция

равна . Отметим, что канонически вкладывается в , где . Продолжим до гомоморфизма в L, что мы можем сделать независимо от того, будет ли образ трансцендентным или алгебраическим над Композиция

и дает нам искомое продолжение .

Следствие. Пусть А — подкольцо поля К, L — некоторое алгебраически замкнутое поле, гомоморфизм и В — максимальное подкольцо в К, на которое может быть продолжен в качестве гомоморфизма в L.

Тогда В — локальное кольцо, и если то либо либо

Доказательство. Пусть S — множество пар где С — подкольцо в К, содержащее А, и — гомоморфизм, продолжающий Тогда S не пусто [оно содержит и частично упорядочено по отношению к возрастающему включению и ограничению. Другими словами, если и ограничение на С равно . Ясно, что S индуктивно упорядочено, поэтому в силу леммы Цорна существует максимальный элемент, скажем Тогда, во-первых, В — локальное кольцо, иначе продолжается до локального кольца, определяемого его ядром, и во-вторых, В обладает требуемым свойством в соответствии с теоремой 1.