§ 2. Алгебраическое замыкание

В этом и в следующем параграфе мы будем иметь дело с вложениями одного поля в другое. В связи с этим введем соответствующую терминологию.

Пусть Е — расширение поля F, и пусть

— вложение (т. е. инъективный гомоморфизм) F в L. Тогда индуцирует изоморфизм поля F с его образом который мы иногда будем обозначать также через Вложение поля Е в L называется вложением над , если ограничение на F равно 0. Мы говорим также, что продолжает . Если — тождественное вложение, то мы говорим, что есть вложение поля Е над

Эти определения можно было бы дать и в более общих категориях, поскольку все зависит лишь от того, имеют ли смысл диаграммы

Замечание. Пусть — многочлен, скажем и пусть а — корень в Е. Тогда

Если, как и выше, продолжает , то мы видим, что та будет корнем многочлена поскольку

Здесь мы пишем вместо . Это экспоненциальное обозначение часто бывает удобно и будет неоднократно использоваться в дальнейшем. Аналогично мы пишем вместо или .

При изучении вложений нам будет полезна одна лемма, относящаяся к вложениям алгебраических расширений в себя. Предварительно отметим, что если — вложение над к (т. е. индуцирующее тождественное отображение на k), то о можно рассматривать как А - гомоморфизм векторных пространств, потому что и Е, и L могут рассматриваться как векторные пространства над

Лемма 1. Пусть Е — алгебраическое расширение поля k, и пусть — вложение Е в себя над k. Тогда — автоморфизм.

Доказательство. Так как гомоморфизм а инъективен, то достаточно доказать, что он сюръективен. Пусть а — произвольный элемент из — его неприводимый многочлен над k и Е — подполе в Е, порожденное всеми корнями многочлена лежащими в Е. Тогда Е — конечно порожденное и, следовательно, будет конечным расширением над k. Кроме того, о должно переводить всякий корень многочлена в корень того же самого многочлена и, следовательно, отображает Е в себя. Мы можем рассматривать как А - гомоморфизм векторных пространств, поскольку о индуцирует тождественное отображение на k. Так как отображение о инъективно, то образ есть подпространство в Е, имеющее ту же размерность, что и Следовательно, Так как то отсюда вытекает, что а лежит в образе отображения а, и наша лемма доказана.

Пусть - расширения поля k, содержащиеся в некотором большем поле L. Мы можем образовать кольцо порожденное элементами F над Е. Тогда будет полем частных этого кольца, а также полем частных кольца Ясно, что элементы из могут быть записаны в виде

где Таким образом, есть поле отношений этих элементов.

Лемма 2. Пусть — расширения поля k, содержащиеся в некотором большем поле Е, и пусть — вложение поля Е в поле L. Тогда а

Доказательство. Применяя к отношению элементов указанного выше вида, скажем

мы видим, что образом служит элемент из . Отсюда ясно, что образ есть

Пусть k — поле, f (X) — многочлен степени -1 из Рассмотрим задачу отыскания такого расширения Е поля k, в котором имеет корень. Если — неприводимый многочлен в делящий , то любой корень будет также корнем , так что мы можем ограничиться неприводимыми многочленами.

Пусть неприводимый многочлен. Канонический гомоморфизм

индуцирует на k гомоморфизм, ядром которого служит 0, поскольку всякий ненулевой элемент из k, будучи обратимым в k, порождает единичный идеал, а 1 не лежит в ядре. Пусть — образ X при гомоморфизме , т. е. есть класс вычетов . Тогда

Следовательно, элемент есть корень многочлена и как таковой алгебраичен над . Таким образом, мы нашли расширение поля а именно в котором имеет корень.

С помощью несложного теоретико-множественного рассуждения мы сейчас докажем

Предложение 7. Пусть k — поле и — многочлен из степени Существует расширение Е поля k, в котором имеет корень.

Доказательство. Можно предполагать, что многочлен неприводим. Мы показали, что существуют поле F и вложение

такие, что имеет корень в F. Пусть S — множество той же мощности, что и (дополнение в F), и не пересекающееся с k. Положим Мы можем продолжить до биекции Е на F. Определим теперь на Е структуру поля. Если то полагаем

При ограничении на k эти операции совпадают с заданными операциями сложения и умножения нашего исходного поля k и ясно, что k есть подполе в Е. Положим Тогда ясно также, что что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть k — поле и — многочлены из степеней . Тогда существует расширение Е поля k, в котором каждый имеет корень,

Доказательство. Пусть — расширение, в котором имеет корень. Мы можем рассматривать как многочлен над . Пусть — расширение в котором имеет корень. Продолжая по индукции, немедленно получаем наше следствие.

Поле L называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен из степени имеет в L корень.

Теорема 1. Для всякого поля существует алгебраически замкнутое поле L, содержащее в качестве подполя.

Доказательство. Сначала мы построим расширение поля в котором всякий многочлен из k [X] степени 1 имеет корень. Можно действовать следующим образом (Артин). Каждому многочлену из степени -1 сопоставим символ Пусть - множество всех таких символов (так что S находится в биективном соответствии с множеством многочленов из степени 1). Образуем кольцо многочленов . Мы утверждаем, что идеал, порожденный всеми многочленами не является единичным. Если бы это было не так, то существовала бы конечная комбинация элементов из нашего идеала, равная 1:

где . Для простоты будем писать вместо Многочлены включают в действительности только конечное число переменных, скажем Наше соотношение тогда гласит:

Пусть F — конечное расширение, в котором каждый многочлен имеет корень, скажем есть корень в F при . Положим при . Подставив вместо в наше соотношение, мы получим — противоречие.

Пусть m — максимальный идеал, содержащий идеал, порожденный всеми многочленами Тогда — поле и мы имеем каноническое отображение

Для всякого многочлена степени многочлен f имеет корень в поле , которое является расширением поля . Используя теоретико-множественное рассуждение того же типа, что и в предложении 7, мы заключаем, что существует расширение поля в котором каждый многочлен степени -1 имеет корень.

По индукции мы можем построить такую последовательность полей

что каждый многочлен из степени 1 имеет корень в

Пусть Е — объединение всех полей Тогда Е, естественно, является полем, поскольку для любых найдется номер , такой, что и мы можем взять произведение или сумму Эти операции, очевидно, не зависят от выбора того , для которого и определяют структуру поля на Е. Всякий многочлен из имеет коэффициенты в некотором подполе и, следовательно, обладает корнем в а тем самым и корнем в Е, что и требовалось доказать.

Следствие. Для всякого поля k существует расширение k, алгебраическое над k и алгебраически замкнутое.

Доказательство. Пусть Е — алгебраически замкнутое расширение поля k, и пусть -объединение всех подрасширений из Е, алгебраических над k. Тогда k алгебраично над k. Пусть элемент алгебраичен над k. Тогда а алгебраичен над k в силу предложения 6. Если — многочлен степени 1 из то имеет корень а в и алгебраичен над k. Следовательно, а лежит в k и k алгебраически замкнуто.

Заметим, что если L-алгебраически замкнутое и имеет степень то существует такие, что

Действительно, имеет корень в L, так что где . Если , то мы можем повторить это рассуждение и по индукции представить в виде произведения членов и некоторого элемента Отметим, что с совпадает со старшим коэффициентом многочлена т. е.

Следовательно, если коэффициенты лежат в подполе k поля L, то с

Пусть k — поле и — вложение k в алгебраически замкнутое поле L. Мы хотим исследовать продолжения о на алгебраические расширения Е поля k. Начнем с рассмотрения частного случая, когда Е порождено одним элементом.

Пусть , где а алгебраичен над k.

Пусть — корень многочлена в L. Всякий данный элемент из мы можем записать в виде где — некоторый многочлен. Определим продолжение как отображение

Это отображение, на самом деле, правильно определено, т. е. не зависит от выбора многочлена использованного для представления нашего элемента в . Действительно, если многочлен g (X) лежит в и таков, что , то а потому . Следовательно, делит и, таким образом, . Далее, очевидно, что наше отображение есть гомоморфизм, индуцирующий на k, и что оно служит продолжением а на k (а). Таким образом, получаем

Предложение 8. Число возможных продолжений на не превосходит числа корней многочлена , а именно равно числу различных корней .

Это важный факт, который мы позже проанализируем подробнее. А сейчас нас интересуют продолжения на произвольные алгебраические расширения k. Мы получим их, используя лемму Цорна.

Теорема 2. Пусть k — поле, Е — его алгебраическое расширение и о: — вложение k в алгебраически замкнутое поле L. Тогда существует продолжение а до вложения Е в L. Если Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над то любое такое продолжение а будет изоморфизмом поля Е на

Доказательство. Пусть S — множество всех пар , где -подполе в Е, содержащее — продолжение до вложения F в L. Мы пишем для таких пар , если Отметим, что множество S не пусто [оно содержит ] и индуктивно упорядочено: если линейно упорядоченное подмножество, то положим и определим на F, положив его равным - на каждом Тогда служит верхней гранью для этого линейно упорядоченного подмножества. Применяя лемму Цорна, находим -максимальный элемент в S. Тогда к есть продолжение , и мы утверждаем, что . В противном случае существует в силу предыдущего вложение к имеет продолжение на вопреки максимальности . Таким образом, существует продолжение на Е. Мы обозначаем это продолжение снова через .

Если Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над то алгебраически замкнуто и L алгебраично над следовательно, .

В качестве следствия получаем некую теорему единственности для «алгебраического замыкания» поля

Следствие. Пусть k — поле и Е, Е — алгебраические расширения над k. Предположим, что Е, Е алгебраически замкнуты. Тогда существует изоморфизм

поля Е на Е, индуцирующий тождественное отображение на

Доказательство. Продолжим тождественное отображение поля k до вложения Е в Е и применим теорему.

Мы видим, что алгебраически замкнутое и алгебраическое расширение поля k определено однозначно с точностью до изоморфизма. Всякое такое расширение будет называться алгебраическим замыканием k и будет обозначаться через k. Фактически, если не оговорено противное, символ k мы будем использовать только для обозначения алгебраического замыкания.

Теперь стоит рассмотреть общую ситуацию с изоморфизмами и автоморфизмами в общих категориях.

Пусть А — категория и А, В — объекты в А. Обозначим через множество изоморфизмов А на В. Предположим, что существует по крайней мере один такой изоморфизм а: с обратным Если — автоморфизм объекта А, то снова изоморфизм. Аналогично, если — автоморфизм В, то — снова изоморфизм. Кроме того, группы автоморфизмов изоморфны относительно взаимно обратных отображений

Автоморфизм о о определяется тем, что делает коммутативной следующую диаграмму:

Аналогичную диаграмму имеем и для

Пусть — какой-нибудь другой изоморфизм. Тогда автоморфизм объекта А и то — автоморфизм В. Таким образом, два изоморфизма отличаются на автоморфизм (объекта А или В). Мы видим, что группа действует на множестве слева, на множестве справа.

Мы видим также, что группа определена однозначно с точностью до отображения, аналогичного сопряжению Это совершенно не похоже на тот тип единственности, который свойствен универсальным объектам в категории. Такие объекты имеют лишь тождественный автоморфизм и, следовательно, определены с точностью до однозначно определенного изоморфизма.

Не так обстоит дело в случае алгебраического замыкания поля, которое обычно имеет большое количество автоморфизмов.

Большая часть этой главы и вся следующая глава посвящены изучению этих автоморфизмов.

Примеры. Позже в этой книге будет доказано, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Комплексное сопряжение является автоморфизмом поля С. Имеется и еще много автоморфизмов, но уже не непрерывных. Мы рассмотрим другие возможные автоморфизмы в главе о трансцендентных расширениях. Подполе поля С, состоящее из всех чисел, алгебраических над Q, есть алгебраическое замыкание Q поля Q. Легко видеть, что Q счетно. Действительно, докажите в качестве упражнения следующее утверждение.

Если k — поле, не являющееся конечным, то любое алгебраическое расширение над k имеет ту же мощность, что и

(Если k счетно, то можно сначала перенумеровать все многочлены над k, а затем перенумеровать все элементы произвольного алгебраического расширения.)

В частности, . Для поля R вещественных чисел

Если -конечное поле, то алгебраическое замыкание k поля k счетно. Позднее в этой главе мы во всех подробностях опишем природу алгебраических расширений конечных полей.

Не все интересные поля являются подполями поля комплексных чисел. Например, представляет интерес исследовать алгебраические расширения поля где X — переменная над С. Изучение этих расширений равносильно изучению разветвленных накрытий сферы (рассматриваемой как риманова поверхность), и фактически имеется точная информация о природе таких расширений, поскольку известна фундаментальная группа сферы, из которой выколото конечное число точек. Мы вернемся к этому примеру позднее, когда будем рассматривать группы Галуа.