Произведения и копроизведения

Пусть А — категория и А, В — объекты из А. Под (прямым) произведением объектов А, В в А понимается тройка , состоящая из объекта Р в А и двух морфизмов

и удовлетворяющая следующему условию. Если даны два морфизма в Л

то существует единственный морфизм для которого следующая диаграмма коммутативна:

другими словами, . Более общо, если дано семейство объектов в А, то (прямое) произведение этого семейства есть пара , где Р — объект в а и семейство морфизмов

удовлетворяющая следующему условию Для каждого семейства морфизмов

существует единственный морфизм такой, что для всех

Пример. Пусть А — категория множеств. Пусть, далее, некоторое семейство множеств, — их декартово произведение и проекция на -множитель. Тогда ( ) очевидным образом удовлетворяет требованиям, налагаемым на произведение в категории множеств.

Что касается обозначений, то произведение двух объектов в категории мы будем обычно записывать в виде , а произведение произвольного семейства объектов — в виде т. е. используя те же самые обозначения, что и в категории множеств.

В следующем параграфе мы исследуем произведения в категории групп.

Нам придется также встречаться с дуальным понятием. Пусть -семейство объектов в категории А. Под их копроизведение понимается пара состоящая из объекта S и семейства морфизмов

удовлетворяющая следующему условию. Для каждого семейства морфизмов существует единственный морфизм такой, что для всех

Как в случае произведения, так и в случае копроизведения, морфизм h называется морфизмом, индуцированным семейством

Примеры. Пусть — категория множеств. В этой категории существуют копроизведения. Например, пусть S, S — множества, и пусть Т — множество, имеющее ту же мощность, что и S, и не пересекающееся с S. Пусть — тождественное отображение и некоторая биекция. Пусть U — объединение S и Т. Тогда есть копроизведение для S, S, причем рассматриваются как отображения в

Пусть — категория пунктированных множеств. Ее объекты состоят из пар где S — множество, а — некоторый его элемент. Морфизм из в этой категории — это такое отображение что Копроизведение для в этой категории существует и может быть построено следующим образом. Обозначим через Т объединение и множества той же мощности, что и дополнение к в S, такого, что

Пусть и

— отображение, индуцированное тождественным отображением множества S. Пусть, далее,

— отображение, переводящее и индуцирующее некоторую биекцию на Тогда тройка

есть копроизведение для в категории пунктированных множеств.

Аналогичными конструкциями могут быть получены копроизведения произвольных семейств множеств или пунктированных множеств. Категория пунктированных множеств особенно зажна в теории гомотопий.

Пусть — некоторая категория. Объект Р в называется универсально притягивающим, если существует единственный морфизм каждого объекта из в Р, и называется универсально отталкивающим, если для каждого объекта из существует единственный морфизм Р в этот объект.

Когда смысл ясен из контекста, мы будем называть такой объект Р просто универсальным. Так как универсальный объект обладает тождественным морфизмом в себя, то ясно, что если Р, Р — два универсальных объекта в то между ними существует однозначно определенный изоморфизм.

Посмотрим теперь, как это применяется, скажем, к копроизведению. Пусть А — категория и — семейство объектов в А. Определим новую категорию взяв в качестве ее объектов семейства морфизмов даны два таких семейства

то морфизмом первого объекта во второй будет по определению морфизм в А, такой, что для всех i. Тогда копроизведение семейства - это просто универсальный объект

Копроизведение семейства будет обозначаться так:

Копроизведение двух объектов А, В будет также обозначаться через

Из предположения единственности вытекает, что копроизведение определено однозначно (с точностью до однозначно определенного изоморфизма). Аналогичное замечание справедливо и для прямого произведения.