Если тело участвует в двух различных винтовых движениях, то результирующее винтовое движение может быть геометрически построено следующим образом, указанным Альфаном ${ }^{1}$. (Halphen.)
Пусть $A_{1}$ и $A_{2}$ обозначают соответственно оси данных винтовых движений, а $A_{12}$ – их общий перпендикуляр. Обозначим, далее, через $B_{1}$ прямую, переходящую в $A_{12}$ после половины первого винтового движения (т. е. винтового движения с вдвое меньшими поступательным и вращательным перемещениями), через $B_{2}$ – прямую, в которую переходит $A_{12}$ после половины второго движения, и, наконец, через $C$ общий перпендикуляр прямых $B_{1}$ и $B_{2}$. Тогда, как это показал Альфан, результирующий винт имеет осью прямую $\mathrm{C}$ и равен удвоенному винту, переводящему $B_{1}$ и $B_{2}$. В самом деле, выберем прямые $D_{1}$ и $D_{2}$ таким образом, чтобы половины данных винтовых движений переводили соответственно $A_{12}$ в положение $D_{1}$ и $D_{2}$ в положение $A_{12}$. Пусть $C^{\prime}$ общий перпендикуляр прямых $D_{1}$ и $D_{2}$. Тогда, очевидно, полученная таким образом фигура совпадает с фигурой, полученной от вращения первой на $180^{\circ}$ вокруг прямой $A_{12}$. Отсюда вытекают следующие соотношения:
Отрезок прямой $B_{1}$, отсекаемый прямыми $A_{1}$ и $C$, равен отрезку прямой $D_{1}$, отсекаемому прямыми $A_{1}$ и $C^{\prime}$.
Отрезок прямой $B_{2}$, отсекаемый прямыми $A_{2}$ и $C$, равен отрезку прямой $D_{2}$, отсекаемому прямыми $A_{2}$ и $C^{\prime}$.
Отрезок прямой $C$, отсекаемый прямыми $B_{1}$ и $B_{2}$, равен отрезку прямой $C^{\prime}$, отсекаемому прямыми $D_{1}$ и $D_{2}$.
Угол между плоскостями $A_{1} B_{1}, B_{1} C$ равен углу между плоскостями $A_{1} D_{1}, D_{1} C^{\prime}$.
${ }^{1}$ Nouvelles Annales de Math. (3), т. I, стр. 298, 1882. Приводимое в тексте доказательство принадлежит Бернсайду (Burnside, Mess. of Math., т. 19, стр. 104, 1889).
Угол между плоскостями $A_{2} B_{2}, B_{2} C$ равен углу между плоскостями $A_{2} D_{2}, D_{2} C^{\prime}$.
Угол между прямыми $B_{1}$ и $B_{2}$ равен углу между прямыми $D_{1}$ и $D_{2}$. Отсюда следует: винт $A_{1}$ переводит $C$ в первоначальное положение прямой $C^{\prime}$, так как точка пересечения прямых $B_{1}$ и $C$ переводится в первоначальное положение точки пересечения прямых $D_{1}$ и $C^{\prime}$; винт $A_{2}$ переводит $C^{\prime}$ в первоначальное положение прямой $C$, так как точка пересечения прямых $D_{2}$ и $C^{\prime}$ переводится в первоначальное положение точки пересечения прямых $B_{2}$ и $C$. Следовательно, $C$ есть ось результирующего винтового движения и величина поступательного перемещения равна удвоенному отрезку, отсекаемому от $C$ прямыми $B_{1}$ и $B_{2}$. Далее, прямая $B_{1}$, переводимая первым винтовым движением в положение $D_{1}$, переводится при втором движении в положение, образующее с $B_{2}$ угол, равный углу между $B_{2}$ и $B_{1}$. Следовательно, величина результирующего вращательного перемещения равна удвоенному углу между $B_{2}$ и $B_{1}$. Таким образом, теорема Альфана доказана.
ЗАДАчА 1. Показать, что всякое бесконечно малое перемещение твердого тела может быть разложено на два бесконечно малых вращения и что ось одного из этих вращений может быть выбрана произвольно.
