Уравнение Гамильтона имеет бесчисленное множество полных интегралов, каждый из которых определяет такое контактное преобразование переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ динамической системы в переменные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ (преобразование распространяется также и на $t$ ), при котором уравнения движения, выраженные в переменных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$, переходят в уравнения соответствующей статической задачи, т. е. величины $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots$, $\beta_{n}$ являются постоянными.

Среди бесчисленного множества всех этих преобразований особенно интересным является то преобразование, при котором величины $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ совпадают с начальными значениями величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, т. е. с их значениями в начальный момент времени $t_{0}$. В этом случае можно дать явную форму соответствующему полному интегралу Гамильтона. Интеграл гамильтонова принципа ( $\S 99$ ) есть:
\[
\int_{t_{0}}^{t} L d t
\]

где $L$ – кинетический потенциал динамической системы. Обозначим через $\delta$ вариацию, соответствующую малым изменениям $\delta \alpha_{1}, \delta \alpha_{2}, \ldots$, $\delta \alpha_{n}, \delta \beta_{1}, \delta \beta_{2}, \ldots, \delta \beta_{n}$ начальных значений.
Тогда согласно $\S 99$
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t} L d t=\sum_{r=1}^{n}\left(p_{r} \delta q_{r}-\beta_{r} \delta \alpha_{r}\right) .
\]

По выполнении интегрирования величина $\int_{t_{0}}^{t} L d t$ будет представлена как функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, t$, (мы предполагаем, что это возможно, т. е. что невозможно исключением $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ из уравнений, связывающих $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$, $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, установить какие-нибудь уравнения, связывающие одни лишь величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ ). Полученную таким образом функцию Гамильтон назвал главной функцией. Обозначим ее через $W\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)$. Тогда получим:
\[
\frac{\partial W}{\partial q_{r}}=p_{r}, \quad \frac{\partial W}{\partial \alpha_{r}}=\beta_{r}
\]

Следовательно, преобразование переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, в $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ является контактным и интеграл от кинетического потенциала есть функция, определяющая это преобразование ${ }^{1}$.
Далее,
\[
\frac{d W}{d t}=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial W}{\partial q_{r}} \frac{d q_{r}}{d t}
\]

или
\[
L=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum_{r=1}^{n} p_{r} \dot{q}_{r}
\]

или
\[
0=\frac{\partial W}{\partial t}+H
\]

Следовательно, интеграл от кинетического потенциала удовлетворяет уравнению:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \frac{\partial W}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial q_{n}}, t\right)=0,
\]
т. е. уравнению Гамильтона.

ЗАДАчА 1. Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ означают начальные значения (в момент $t_{0}$ ) переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ некоторой динамической системы, определяемой уравнениями:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]
${ }^{1}$ Hamilton, Phil. Trans., стр. 307,1834 ; там же, стр. 95, 1835. В своих первых динамических исследования Гамильтон пользовался «характеристической функцией», – точно соответствующей характеристической функции, с большим успехом введенной в теоретическую оптику, – именно интегралом действия как функцией начальных и конечных значений координат. Однако он нашел, что эта функция в динамике содержит константу энергии, и в силу этого заменил ее введенной выше главной функцией.

Предполагается, что из уравнений, связывающих $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ с $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ можно исключить $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ и получить, таким образом, некоторое число $m$ уравнений, связывающих одни лишь величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$. Предполагается далее, что последние разрешены относительно $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ и имеют, следовательно, вид:
\[
F_{r}=f_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \alpha_{m+1}, \ldots, \alpha_{n}, t\right)-\alpha_{r}=0 \quad(r=1,2, \ldots, m) .
\]

Пусть $V$ означает гамильтонов интеграл $\int_{t_{0}}^{t} L d t$ системы, выраженной через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \alpha_{m+1}, \ldots, \alpha_{n}$.
Вывести уравнения:
\[
\begin{array}{l}
p_{r}=\frac{\partial V}{\partial q_{r}}+\sum_{k=1}^{m} \lambda_{k} \frac{\partial F_{k}}{\partial q_{r}} \\
\beta_{r}=-\frac{\partial V}{\partial \alpha_{r}}-\sum_{k=1}^{m} \lambda_{k} \frac{\partial F_{k}}{\partial \alpha_{r}}
\end{array}
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ – произвольные множители, и показать, что функция
\[
W=V+\sum_{k=1}^{m} \lambda_{k} f_{k}
\]

есть интеграл с частными производными:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \frac{\partial W}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial q_{n}}, t\right)=0 .
\]