Уравнение Гамильтона имеет бесчисленное множество полных интегралов, каждый из которых определяет такое контактное преобразование переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ динамической системы в переменные ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ (преобразование распространяется также и на $t$ ), при котором уравнения движения, выраженные в переменных ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$, переходят в уравнения соответствующей статической задачи, т. е. величины ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots$, ${\beta }_n$ являются постоянными.

Среди бесчисленного множества всех этих преобразований особенно интересным является то преобразование, при котором величины ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ совпадают с начальными значениями величин $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$, т. е. с их значениями в начальный момент времени $t_0$. В этом случае можно дать явную форму соответствующему полному интегралу Гамильтона. Интеграл гамильтонова принципа ( $\mathrm{\S }99$ ) есть:
$${\int }_{t_0}^{t}Ldt$$

где $L$ — кинетический потенциал динамической системы. Обозначим через $\delta$ вариацию, соответствующую малым изменениям $\delta {\alpha }_1,\delta {\alpha }_2,\dots$, $\delta {\alpha }_n,\delta {\beta }_1,\delta {\beta }_2,\dots ,\delta {\beta }_n$ начальных значений.
Тогда согласно $\mathrm{\S }99$
$$\delta {\int }_{t_0}^{t}Ldt=\sum _{r=1}^n(p_r\delta q_r-{\beta }_r\delta {\alpha }_r).$$

По выполнении интегрирования величина ${\int }_{t_0}^{t}Ldt$ будет представлена как функция от $q_1,q_2,\dots ,q_n,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,t$, (мы предполагаем, что это возможно, т. е. что невозможно исключением ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$, $p_1,p_2,\dots ,p_n$ из уравнений, связывающих ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$, $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$, установить какие-нибудь уравнения, связывающие одни лишь величины $q_1,q_2,\dots ,q_n,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ ). Полученную таким образом функцию Гамильтон назвал главной функцией. Обозначим ее через $W(q_1,q_2,\dots ,q_n,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$. Тогда получим:
$$\frac{\partial W}{\partial q_r}=p_r,\frac{\partial W}{\partial {\alpha }_r}={\beta }_r$$

Следовательно, преобразование переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$, в ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ является контактным и интеграл от кинетического потенциала есть функция, определяющая это преобразование ${}^1$.
Далее,
$$\frac{dW}{dt}=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum _{r=1}^n\frac{\partial W}{\partial q_r}\frac{d{q}_r}{dt}$$

или
$$L=\frac{\partial W}{\partial t}+\sum _{r=1}^n{p}_r{\dot{q}}_r$$

или
$$0=\frac{\partial W}{\partial t}+H$$

Следовательно, интеграл от кинетического потенциала удовлетворяет уравнению:
$$\frac{\partial W}{\partial t}+H(q_1,q_2,\dots ,q_n,\frac{\partial W}{\partial q_1},\frac{\partial W}{\partial q_2},\dots ,\frac{\partial W}{\partial q_n},t)=0,$$
т. е. уравнению Гамильтона.

ЗАДАчА 1. Пусть ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ означают начальные значения (в момент $t_0$ ) переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ некоторой динамической системы, определяемой уравнениями:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r},(r=1,2,\dots ,n).$$
${}^1$ Hamilton, Phil. Trans., стр. 307,1834 ; там же, стр. 95, 1835. В своих первых динамических исследования Гамильтон пользовался «характеристической функцией», — точно соответствующей характеристической функции, с большим успехом введенной в теоретическую оптику, — именно интегралом действия как функцией начальных и конечных значений координат. Однако он нашел, что эта функция в динамике содержит константу энергии, и в силу этого заменил ее введенной выше главной функцией.

Предполагается, что из уравнений, связывающих ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ с $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ можно исключить ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ и получить, таким образом, некоторое число $m$ уравнений, связывающих одни лишь величины $q_1,q_2,\dots ,q_n,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$. Предполагается далее, что последние разрешены относительно ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ и имеют, следовательно, вид:
$$F_r=f_r(q_1,q_2,\dots ,q_n,{\alpha }_{m+1},\dots ,{\alpha }_n,t)-{\alpha }_r=0(r=1,2,\dots ,m).$$

Пусть $V$ означает гамильтонов интеграл ${\int }_{t_0}^{t}Ldt$ системы, выраженной через $q_1,q_2,\dots ,q_n,{\alpha }_{m+1},\dots ,{\alpha }_n$.
Вывести уравнения:
$$\begin{array}{l}{p}_r=\frac{\partial V}{\partial q_r}+\sum _{k=1}^m{\lambda }_k\frac{\partial F_k}{\partial q_r}\\ {\beta }_r=-\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_r}-\sum _{k=1}^m{\lambda }_k\frac{\partial F_k}{\partial {\alpha }_r}\end{array}$$

где ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ — произвольные множители, и показать, что функция
$$W=V+\sum _{k=1}^m{\lambda }_k{f}_k$$

есть интеграл с частными производными:
$$\frac{\partial W}{\partial t}+H(q_1,q_2,\dots ,q_n,\frac{\partial W}{\partial q_1},\frac{\partial W}{\partial q_2},\dots ,\frac{\partial W}{\partial q_n},t)=0.$$