В приведенной в § 26 форме уравнений Лагранжа переменными являются координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и время $t$. Так как знание этих величин и структура системы достаточно для определения положения любой точки системы, то эти величины называют еще истинными координатами. Выясним теперь, какую форму примут уравнения Лагранжа, если мы отбросим ограничение об истинности координат ${ }^{1}$.

Допустим, что динамическая система, определяемая истинными координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, имеет кинетическую энергию $T$, а работа внешних сил, действующих на систему на перемещении $\left(\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}\right)$, пусть будет $Q_{1} \delta q_{1}+Q_{2} \delta q_{2}+\ldots+Q_{n} \delta q_{n}$. Тогда уравнения Лагранжа имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\lambda}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda}}=Q_{\lambda} \quad(\lambda=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}$ будут $n$ независимых друг от друга линейных комбинаций скоростей $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, определяемых при помощи уравнений:
\[
\omega_{r}=\alpha_{1 r} \dot{q}_{1}+\alpha_{2 r} \dot{q}_{2}+\ldots+\alpha_{n r} \dot{q}_{n} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $\alpha_{11}, \alpha_{21}, \ldots, \alpha_{n n}$ суть данные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Пусть, далее, $d \pi_{1}, d \pi_{2}, \ldots, d \pi_{n}$ означают $n$ независимых линейных комбинаций от дифференциалов $d q_{1}, d q_{2}, \ldots, d q_{n}$, определяемых уравнениями:
\[
d \pi_{r}=\alpha_{1 r} d q_{1}+\alpha_{2 r} d q_{2}+\ldots+\alpha_{n r} d q_{n} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где коэффициенты $\alpha$ имеют те же значения, что и в предыдущих уравнениях. Последние уравнения непосредственно интегрируются, если для всех $\lambda, r, m$ выполняются условия $\frac{\partial \alpha_{\lambda r}}{\partial q_{m}}-\frac{\partial \alpha_{m r}}{\partial q_{\lambda}}=0$. В этом случае
${ }^{1}$ Частные случаи рассматриваемых в этом параграфе теорем были уже известны Лагранжу и Эйлеру. Обобщенная форма уравнений принадлежит Больцману (Boltzmann, Wiener Sitzungsberichte, т. 111, стр. 1603, 1902) и Гамелю (Hamel, Zeitschr. f. Math. u. Phys., т. 50, стр. 1, 1904).

будут существовать истинные координаты $\pi_{r}$. Но так как уравнения могут быть и не интегрируемыми, то и величины $d \pi_{1}, d \pi_{2}, \ldots, d \pi_{n}$ могут и не являться дифференциалами от координат $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n}$. Назовем их дифференциалами квазикоординат.

Пусть решения уравнений (2) относительно $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ имеют вид:
\[
\dot{d}_{\lambda}=\beta_{\lambda 1} \omega_{1}+\beta_{\lambda 2} \omega_{2}+\ldots+\beta_{\lambda n} \omega_{n} \quad(\lambda=1,2, \ldots, n) .
\]
\[
\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r}\left\{\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\lambda}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda}}\right\}=\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r} Q_{\lambda} .
\]

Величина $\sum_{\lambda} Q_{\lambda} \delta q_{\lambda}$ есть работа внешних сил, действующих на систему, при произвольном перемещении: поэтому величина $\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r} Q_{\lambda} \delta \pi_{\lambda}$ есть работа этих сил при перемещении, при котором все $\delta \pi$, за исключением $\delta \pi_{r}$, равны нулю. Поэтому, если работа внешних сил системы при произвольном бесконечно малом перемещении $\left(\delta \pi_{1}, \delta \pi_{2}, \ldots, \delta \pi_{n}\right)$ равна:
\[
\Pi_{1} \delta \pi_{1}+\Pi_{2} \delta \pi_{2}+\ldots+\Pi_{n} \delta \pi_{n}
\]

то
\[
\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r}\left\{\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\lambda}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda}}\right\}=\Pi_{r} .
\]

При помощи уравнений (3) можно исключить из функции $T$ величины $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Тогда $T$ станет функцией от $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}$, $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. (Для упрощения мы предполагаем, что $T$ не содержит явно $t$.) Преобразованную таким образом функцию $T$ мы обозначим через $\bar{T}$. Тогда
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\lambda}}=\sum_{s} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{s}} \alpha_{\lambda s}
\]

и поэтому
\[
\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r}\left\{\sum_{s} \alpha_{\lambda s} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{s}}\right)+\sum_{s} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{s}} \frac{d \alpha_{\lambda s}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda}}\right\}=\Pi_{r} .
\]

Ho
\[
\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r} \alpha_{\lambda s}=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } r
eq s, \\
1 & \text { при } r=s .
\end{array}\right.
\]

Следовательно, можем написать:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{r}}\right)+\sum_{\lambda} \sum_{s} \beta_{\lambda r} \frac{d \alpha_{\lambda s}}{d t} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{s}}-\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r} \frac{\partial T}{\partial q_{\lambda}}=\Pi_{r} .
\]

Кроме того,
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda}}=\frac{\partial \bar{T}}{\partial q_{\lambda}}+\sum_{s} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{s}} \frac{\partial \omega_{s}}{\partial q_{\lambda}}=\frac{\partial \bar{T}}{\partial q_{\lambda}}+\sum_{s} \sum_{m} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{s}} \frac{\partial \alpha_{m s}}{\partial q_{\lambda}} \dot{q}_{m} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{r}}\right)+\sum_{\lambda} \sum_{s} \sum_{m} \beta_{\lambda r} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{s}} \dot{q}_{m}\left(\frac{\partial \alpha_{\lambda s}}{\partial q_{m}}-\frac{\partial \alpha_{m s}}{\partial q_{\lambda}}\right)-\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r} \frac{\partial \bar{T}}{\partial q_{r}}=\Pi_{r} .
\]

Величина $\sum_{\lambda} \beta_{\lambda r} \frac{\partial \bar{T}}{\partial q_{\lambda}}$ или $\sum_{\lambda} \frac{\partial \bar{T}}{\partial q_{\lambda}} \frac{\partial q_{\lambda}}{\partial \pi_{r}}$ представляет собой $\frac{\partial \bar{T}}{\partial \pi_{r}}$, если $\pi_{r}$ является истинной координатой. Мы будем обозначать эту величину через $\frac{\partial \bar{T}}{\partial \pi_{r}}$, независимо от того, является ли $\pi_{r}$ истинной координатой или нет. Выражение
\[
\sum_{\lambda} \sum_{m} \beta_{\lambda r} \beta_{m l}\left(\frac{\partial \alpha_{\lambda s}}{\partial q_{m}}-\frac{\partial \alpha_{m s}}{\partial q_{\lambda}}\right)
\]

зависит только от соотношений между истинными координатами и дифференциалами квазикоординат и совершенно не зависит от структуры и движения системы. Обозначим это выражение через $\gamma_{\text {rsl }}$. Таким образом, будем иметь:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{r}}\right)+\sum_{s} \sum_{l} \gamma_{r s l} \omega_{l} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{s}}-\frac{\partial \bar{T}}{\partial \pi_{r}}=\Pi_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти п ураєнений предстаєляют собой уравнения движения в квазикоординатах. Если квазикоординаты являются истинными координатами, то в силу $\frac{\partial \alpha_{\lambda r}}{\partial q_{m}}-\frac{\partial \alpha_{m r}}{\partial q_{\lambda}}=0$ все величины $\gamma_{r s l}$ обращаются в нуль и уравнения делаются обычными уравнениями Лагранжа
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\pi}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \pi_{r}}=\Pi_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Задачд. Твердое тело вращается вокруг одной из своих точек. За координаты тела можно принять три угла Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$, определяющие положение системы осей $O x y z$, связанных с телом и движущихся вместе с ним относительно системы осей $O X Y Z$, неподвижных в пространстве. Произвольное перемещение $(\delta \vartheta, \delta \varphi, \delta \psi$ ) тела эквивалентно трем бесконечно малым вращениям $\delta \pi_{1}, \delta \pi_{2}, \delta \pi_{3}$ вокруг осей $O x, O y, O z$ и поэтому величины $d \pi_{1}, d \pi_{2}, d \pi_{3}$ можно принять за дифференциалы квазикоординат. Обозначим угловые скорости тела относительно осей $O x, O y, O z$ через $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$; тогда $d \pi_{1}, d \pi_{2}, d \pi_{3}$ суть дифференциалы квазикоординат, соответствующие скоростям $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$. Показать, что уравнения движения тела имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{1}}\right)-\omega_{3} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{2}}+\omega_{2} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{3}}-\frac{\partial \bar{T}}{\partial \pi_{1}}=\Pi_{1}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{2}}\right)-\omega_{1} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{3}}+\omega_{3} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{1}}-\frac{\partial \bar{T}}{\partial \pi_{2}}=\Pi_{2}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{3}}\right)-\omega_{2} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{1}}+\omega_{1} \frac{\partial \bar{T}}{\partial \omega_{2}}-\frac{\partial \bar{T}}{\partial \pi_{3}}=\Pi_{3} .
\end{array}
\]

Здесь $\bar{T}$ есть кинетическая энергия тела, выраженная через $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$, $\vartheta, \varphi, \psi$, а $\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}$ – моменты действующих на тело внешних сил относительно осей $O x, O y, O z$, а $\frac{\partial \bar{T}}{\partial \pi_{r}}$ означает выражение
\[
\frac{\partial \bar{T}}{\partial \vartheta} \frac{\partial \vartheta}{\partial \pi_{r}}+\frac{\partial \bar{T}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial \pi_{r}}+\frac{\partial \bar{T}}{\partial \psi} \frac{\partial \psi}{\partial \pi_{r}}
\]

Ниже будет показано, что $\bar{T}$ зависит лишь только от $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ и поэтому все $\frac{\partial \bar{T}}{\partial \pi_{r}}$ равны нулю.