Мы переходим теперь к случаю, когда система дифференциальных уравнений есть система Гамильтона, т. е имеет вид:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n),$$

где $H$ — известная функция величин $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n,t$.
Пусть $\mathrm{\Omega }=\int Ldt$ — интеграл Гамильтона и, следовательно, $L$ кинетический потенциал. Пусть, далее, ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ означают начальные значения переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$, а $\delta$ — вариацию, соответствующую переходу от какой-нибудь точки одной траектории к одновременной точке смежной траектории. Тогда согласно $\mathrm{\S }99$ имеем:
$$\delta \mathrm{\Omega }=\sum _{r=1}^n{p}_r\delta q_r-\sum _{r=1}^n{\beta }_r\delta {\alpha }_r.$$

Пусть $C_0$ есть произвольная замкнутая кривая $2n$-мерного пространства, координаты которого суть $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$,
а $C$ — ее положение в момент времени $t$. Интегрирование последнего уравнения по системе траекторий, соединяющих $C_0$ и $C$, дает:
$${\int }_C\sum _{r=1}^n{p}_r\delta q_r={\int }_{C_0}\sum _{r=1}^n{\beta }_r\delta {\alpha }_r.$$

Это уравнение показывает, что величина $\int \sum _{r=1}^n{p}_r\delta q_r$ есть относительный интегральный инвариант для всякой системы дифференциальных уравнений типа Гамильтона.