Мы переходим теперь к случаю, когда система дифференциальных уравнений есть система Гамильтона, т. е имеет вид:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $H$ – известная функция величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$.
Пусть $\Omega=\int L d t$ – интеграл Гамильтона и, следовательно, $L$ кинетический потенциал. Пусть, далее, $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ означают начальные значения переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, а $\delta$ – вариацию, соответствующую переходу от какой-нибудь точки одной траектории к одновременной точке смежной траектории. Тогда согласно $\S 99$ имеем:
\[
\delta \Omega=\sum_{r=1}^{n} p_{r} \delta q_{r}-\sum_{r=1}^{n} \beta_{r} \delta \alpha_{r} .
\]

Пусть $C_{0}$ есть произвольная замкнутая кривая $2 n$-мерного пространства, координаты которого суть $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$,
а $C$ – ее положение в момент времени $t$. Интегрирование последнего уравнения по системе траекторий, соединяющих $C_{0}$ и $C$, дает:
\[
\int_{C} \sum_{r=1}^{n} p_{r} \delta q_{r}=\int_{C_{0}} \sum_{r=1}^{n} \beta_{r} \delta \alpha_{r} .
\]

Это уравнение показывает, что величина $\int \sum_{r=1}^{n} p_{r} \delta q_{r}$ есть относительный интегральный инвариант для всякой системы дифференциальных уравнений типа Гамильтона.