Если переменные динамической системы, определяемой уравнениями:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

подвергнуть контактному преобразованию, определяемому уравнениями:
\[
P_{r}=-\frac{\partial W}{\partial Q_{r}}, \quad p_{r}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $W$ есть заданная функция величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, t$, то согласно $\S 138$ система уравнений движения примет вид:
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
K=H+\frac{\partial W}{\partial t} .
\]

И если эта функция $K$ равна нулю, то говорят, что задача сведена к задаче равновесия. Но функция $K$ обращается в нуль, когда $W$ удовлетворяет условию:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t} W\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, t\right)+ \\
+H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)=0,
\end{array}
\]
т. е. когда величина $W$, рассматриваемая как функция переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$ удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными:
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \frac{\partial W}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial q_{n}}, t\right)=0 .
\]

Это уравнение называется гамильтоновым уравнением с частными производными, соответствующим данной динамической системе. Оно открыто Гамильтоном в 1834 г. ${ }^{1}$ и является распространением на динамику уравнения, открытого им десятью годами раньше в связи с исследованием по оптике.

Допустим, что известен полный интеграл этого уравнения, т. е. решение, содержащее $n$ произвольных постоянных наряду с аддитивной постоянной. Пусть эти постоянные будут $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$, так что решение имеет вид:
\[
W\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, t\right) .
\]

Преобразуем переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ первоначальной динамической системы в переменные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
p_{r}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}}, \quad \beta_{r}=-\frac{\partial W}{\partial \alpha_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как $W$ удовлетворяет уравнению Гамильтона, то гамильтонова функция преобразованной системы будет равна нулю, и, следовательно, новыми уравнениями движения будут:
\[
\frac{d \alpha_{r}}{d t}=0, \quad \frac{d \beta_{r}}{d t}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]
${ }^{1}$ Phil. Trans., стр. 247. 1834; там же, стр. 95. 1835.

так что $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ в течение всего движения сохраняют постоянные значения.

Отсюда следует, что если $W$ есть полный интеграл уравнения Гамильтона, содержащий $n$ произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$, mо уравнения:
\[
p_{r}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}}, \quad \beta_{r}=-\frac{\partial W}{\partial \alpha_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

дают полное решение динамической задачи, так как они дают возможность выразить $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ через время $t$ и произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}{ }^{1}$. Таким образом, решение динамической задачи с $n$ степенями свободы приводится к нахождению полного интеграла одного уравнения с частными производными первого порядка с $n+1$ независимыми переменными.

Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики.

Относительно использования неполного интеграла уравнения Гамильтона (т. е. интеграла, содержащего менее чем $n$ произвольных постоянных) см. Lehmann-Eilhes, Astr. Nachr., т. 165, стр. 209, 1904.

Далее, следует заметить, что уравнение Гамильтона в вышеприведенной форме несправедливо для неголономных систем. Относительно обобщенного уравнения, справедливого и для неголономных систем, см. Quanjel, Rendiconti di Palermo, т. 22, стр. 263, 1906.

Интегрирование уравнения Гамильтона разделением переменных исследовал Даллаква (F. A.Dall’Acqua, Math. Ann., т. 66, стр. 398, 1908).
Задача 1. Рассмотрим систему:
\[
\frac{d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q},
\]

где
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}-\frac{\mu}{q}
\]

а $\mu$ – некоторая постоянная. Этой системе соответствует уравнение Гамильтона:
\[
0=\frac{\partial W}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial t}\right)^{2}-\frac{\mu}{q},
\]

полный интеграл которого может быть найден следующим образом. Положим
\[
W=f(t)+\varphi(q),
\]
${ }^{1}$ Эта теорема принадлежит Якоби (Journ. f. Math., т. 27, стр. 97, 1837 и Journ. de Math., т. 3, стр. $60,161,1837)$.

где $f$ и $\varphi$ – некоторые функции своих аргументов. Тогда
\[
0=f^{\prime}(t)+\frac{1}{2}\left\{\varphi^{\prime}(q)\right\}^{2}-\frac{\mu}{q}
\]

Мы удовлетворим этому уравнению, полагая
\[
f^{\prime}(t)=\frac{\mu}{q}-\frac{1}{2}\left\{\varphi^{\prime}(q)\right\}^{2}=\frac{\mu}{\alpha},
\]

где $\alpha$ – некоторая постоянная. Это дает:
\[
\begin{array}{c}
f(t)=\mu \frac{t}{\alpha}, \quad \varphi(q)=(2 \mu \alpha)^{\frac{1}{2}} \arcsin \left(\frac{q}{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}+\left\{\frac{2 \mu q(\alpha-q)}{\alpha}\right\}^{\frac{1}{2}}, \\
W=\mu \frac{t}{\alpha}+(2 \mu \alpha)^{\frac{1}{2}} \arcsin \left(\frac{q}{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}+\left\{\frac{2 \mu q(\alpha-q)}{\alpha}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\end{array}
\]

Поэтому решение первоначальной задачи дается уравнениями $\beta=-\frac{\partial W}{\partial \alpha}$, $p=\frac{\partial W}{\partial q}$, где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные интегрирования.