Допустим, что найдены два различных решения $M$ и $N$ уравнения в частных производных, определяющего последний множитель, так что
\[
\begin{array}{c}
\left(X_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}+X \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln M+ \\
+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}+\frac{\partial X}{\partial x}=0
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\left(X_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}+X \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln N+ \\
+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}+\frac{\partial X}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]

Вычитание этих уравнений дает:
\[
\left(X_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}+X \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln \frac{M}{N}=0 .
\]

Но в этом заключается условие того, что
\[
\ln \frac{M}{N}=\mathrm{const}
\]

есть интеграл системы
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}}=\cdots=\frac{d x_{n}}{X_{n}}=\frac{d x}{X} .
\]

Имеем, следовательно, теорему: Частное от деления двух последних множителей некоторой системы дифференииальных уравнений есть интеграл этой системы.

Читатель, знакомый с теорией бесконечно малых преобразований, легко докажет, что если уравнение
\[
X_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial f}{\partial x_{n}}+X \frac{\partial f}{\partial x}=0
\]

допускает бесконечно малые преобразования:
\[
\xi_{i 1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+\xi_{i 2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\cdots+\xi_{i n} \frac{\partial f}{\partial x_{n}}+\xi_{i} \frac{\partial f}{\partial x} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

то величина, обратная детерминанту
\[
\left|\begin{array}{ccccc}
X_{1} & X_{2} & \ldots & X_{n} & X \\
\xi_{11} & \xi_{12} & \ldots & \xi_{1 n} & \xi_{1} \\
\cdots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\xi_{n 1} & \xi_{n 2} & \ldots & \xi_{n n} & \xi_{n}
\end{array}\right|,
\]

есть последний множитель.