Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Допустим, что найдены два различных решения $M$ и $N$ уравнения в частных производных, определяющего последний множитель, так что
\[
\begin{array}{c}
\left(X_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}+X \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln M+ \\
+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}+\frac{\partial X}{\partial x}=0
\end{array}
\]
и
\[
\begin{array}{c}
\left(X_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}+X \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln N+ \\
+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}+\frac{\partial X}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]
Вычитание этих уравнений дает:
\[
\left(X_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}+X \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln \frac{M}{N}=0 .
\]
Но в этом заключается условие того, что
\[
\ln \frac{M}{N}=\mathrm{const}
\]
есть интеграл системы
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}}=\cdots=\frac{d x_{n}}{X_{n}}=\frac{d x}{X} .
\]
Имеем, следовательно, теорему: Частное от деления двух последних множителей некоторой системы дифференииальных уравнений есть интеграл этой системы.
Читатель, знакомый с теорией бесконечно малых преобразований, легко докажет, что если уравнение
\[
X_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial f}{\partial x_{n}}+X \frac{\partial f}{\partial x}=0
\]
допускает бесконечно малые преобразования:
\[
\xi_{i 1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+\xi_{i 2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\cdots+\xi_{i n} \frac{\partial f}{\partial x_{n}}+\xi_{i} \frac{\partial f}{\partial x} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]
то величина, обратная детерминанту
\[
\left|\begin{array}{ccccc}
X_{1} & X_{2} & \ldots & X_{n} & X \\
\xi_{11} & \xi_{12} & \ldots & \xi_{1 n} & \xi_{1} \\
\cdots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\xi_{n 1} & \xi_{n 2} & \ldots & \xi_{n n} & \xi_{n}
\end{array}\right|,
\]
есть последний множитель.
