Все ряды, рассмотренные в предыдущем параграфе, обладают тем недостатком, что они не дают никаких явных указаний о характере движения по истечении большого интервала времени и не проливают свет на число и вид различных возможных для системы движений. Кроме того действительное выполнение всех связанных с этими рядами вычислений сопряжено с большими трудностями. Вследствие этого мы переходим сейчас к рассмотрению рядов совершенно иного вида.
${ }^{1}$ Этот последний факт был известен Вейерштрассу. См. Acta Math., т. 35, cтр. 55. В этом случае движение происходит в плоскости.
2 Для ограниченной задачи трех тел Армелини (Comptes Rendus, т. 158, стр. 253,1914$)$ предложил более простое уравнение.

Рассмотрим задачу колебательного движения математического маятника ( $\S 44$ ) и заменим эллиптическую функцию, входящую в ее решение, ее тригонометрическим разложением ${ }^{1}$. Будем иметь:
\[
\sin \frac{1}{2} \vartheta=\frac{2 \pi}{K} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{q^{\frac{1}{2}(2 s-1)}}{1-q^{2 s-1}} \sin \frac{(2 s-1) \pi \mu\left(t-t_{0}\right)}{2 K}
\]

где $\vartheta$ означает угол наклона маятника относительно вертикали ко времени $t, K$ и $t_{0}$ – произвольные постоянные интегрирования, $\mu$ – определенная постоянная и $q=e^{-\frac{\pi K^{\prime}}{K}}$, где $K^{\prime}$ – дополнительный к $K$ полный эллиптический интеграл. Это разложение, в котором каждый член есть тригонометрическая функция от $t$ справедливо для всех значений времени. Если постоянная $q$ не велика, то уже первые члены этого ряда достаточно точно представляют движение для всех значений $t$. Такого же характера тригонометрическое разложение может быть получено и для кругового движения маятника.

Если мы обратимся к небесной механике, то мы увидим, что там уже давно пользовались тригонометрическими рядами как наилучшим способом для выражения координат отдельных членов солнечной системы. Эти ряды имеют вид:
\[
\sum a_{n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}} \cos \left(n_{1} \vartheta_{1}+n_{2} \vartheta_{2}+\cdots+n_{k} \vartheta_{k}\right)
\]

где суммирование распространяется на все положительные и отрицательные значения величин $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}, \vartheta_{r}$ имеет вид $\lambda_{r} t+\varepsilon_{r}$, и величины $\alpha, \lambda, \varepsilon$ суть постоянные. Делоне (Delaunay) ${ }^{2}$ показал в 1860 г., что такого рода рядами могут быть представлены координаты Луны. Аналогичный результат получил Ньюком (Newcomb) ${ }^{3}$ и для координат планет, а целый ряд последующих исследователей ${ }^{4}$ применили этот метод к решению общей задачи трех тел. Этот метод может быть распространен и на другие динамические системы, для которых уравнения движения имеют вид, аналогичный с уравнениями движения задачи трех тел. В нижеследующих параграфах мы излагаем метод ${ }^{5}$, приводящий к тригонометрическим рядам и пригодный для всех динамических систем.
1 Уиттекер и Ватсон, Современный анализ, § 22, 6 .
${ }^{2}$ Theorie du mouvement de la lune, Paris 1860.
${ }^{3}$ Smithsonian Contributions, 1874.
${ }^{4}$ Например, Линдстед (Lindstedt), Тиссеран (Tisserand) и Пуанкаре.
${ }^{5}$ Whittaker, Proc. Lond. Math. Soc., т. 34. стр. 206, 1902; Proc. R. S. E., т. 37. стр. 95, 1916.