Периодические решения динамической системы получатся, очевидно, тогда, когда $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ подобраны таким образом, что $\mu_{1}$ соизмеримо с $\mu_{2}$. В этом случае период будет равняться $\frac{2 \pi}{
u}$, где $
u-$ наибольшее число, при котором $\frac{\mu_{1}}{
u}$ и $\frac{\mu_{2}}{
u}$ суть целье числа.
Допустим, что $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ действительно выбраны таким образом. Тогда, если заставить $\varepsilon_{1}$ непрерывно изменяться, мы получим семейство периодических решений, обладающих одинаковым периодом (так как последний не зависит от $\varepsilon_{1}$ ). Постоянная энергия зависит только от $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, и поэтому она также имеет одинаковое значение для всех этих решений. Следовательно, рассматриваемое семейство принадлежит к типу обыкновенных периодических решений (§ 172).
Может сразу показаться, что, изменяя вместе с $\varepsilon_{1}$ также и постоянную $\varepsilon_{2}$, мы получим семейство из $\infty^{2}$ траекторий. Но легко видеть, что преобразование, определяемое изменением $\varepsilon_{2}$, складывается из преобразования, определяемого изменением $\varepsilon_{1}$, и преобразования, сводящегося к добавлению к $t$ некоторой малой постоянной величины. Последнее же преобразование преобразует каждую траекторию в самое себя (каждая точка перемещается в направлении касательной траектории) и может быть поэтому отброшено. Следовательно, преобразования $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ не являются независимыми друг от друга ${ }^{1}$.
Рассмотрим такое бесконечно малое преобразование, которое преобразует каждую траекторию системы в смежную точно таким же образом, как каждое обыкновенное периодическое решение преобразутся в смежное периодическое решение того же самого семейства, т. е. обладающее тем же периодом и тем же самым значением постоянной энергии. В наших обозначениях такое преобразование соответствует бесконечно малому изменению величины $\varepsilon_{1}$. Такое преобразование
${ }^{1}$ Единственным исключением является тот случай, когда все траектории системы периодичны.
мы будем называть родственным (adelphic) ${ }^{1}$ преобразованием. Родственное преобразование преобразует всякое решение динамической системы, независимо от того, является ли оно периодическим или нет, в $\infty^{1}$ других решений, стоящих в определенной тесной связи с ним, заключающейся в том, что все они получаются из него при изменении одной лишь величины $\varepsilon_{1}$.
Обращаясь теперь к формулам предыдущего параграфа, мы видим, что если мы будем изменять только величину $\varepsilon_{1}$, не изменяя остальных постоянных интегрирования, то это не изменит значений $l_{1}$ и $l_{2}$ (так как они зависят только от $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ ) и, следовательно, также значений постоянных родственного интеграла и интеграла энергии. Это показывает, что все траектории, отличающиеся друг от друга только значениями постоянной $\varepsilon_{1}$, имеют те же самые значения постоянной родственного интеграла и постоянной энергии. Следовательно, бесконечно малое преобразование, соответствующее ( $\$ 144$ ) родственному интегралу, преобразует эти траектории одну в другую, т. е. родcmвенным интегралом является тот интеграл, который соответствует родственному преобразованию. В этом заключается основное свойство родственного интеграла.
Так как заданная динамическая система с двумя степенями свободы может иметь только одно независимое родственное преобразование, то она может допускать только один независимый родственный интеграл. Всякий другой родственный интеграл может быть получен той или иной комбинацией данного родственного интеграла с интегралом энергии ${ }^{2}$.
В частности, во всех известных разрешимых задачах динамики с двумя степенями свободы второй интеграл, дающий возможность разрешить задачу, является родственным интегралом. Так, например, если траекториями являются геодезические линии на эллипсоиде, то родственным интегралом будет уравнение $p d=$ const. В задаче с двумя центрами притяжения родственным интегралом является интеграл Эйлера. Если разрешимость задачи обусловливается существованием циклической координаты, например $q_{2}$, то родственным интегралом будет интеграл $p_{2}=$ const.
