Мы исследуем теперь изменение периодов нормальных колебаний системы около положения устойчивого равновесия, когда в этой системе вследствие введения новой связи уменьшается число степеней свободы.

Допустим, что первоначальная система отнесена к нормальным координатам $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, так что ее кинетическая и потенциальная энергии имеют вид:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\ldots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \quad V=\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} q_{1}^{2}+\lambda_{2} q_{2}^{2}+\ldots+\lambda_{n} q_{n}^{2}\right) .
\]

Пусть новая связь представлена уравнением:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)=0 .
\]

Так как $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ очень малы, то мы можем в разложении $f$ по степеням $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ ограничиться рассмотрением лишь членов первой порядка малости. Мы представляем поэтому уравнение связи в виде:
\[
A_{1} q_{1}+A_{2} q_{2}+\ldots+A_{n} q_{n}=0,
\]

где $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ – некоторые постоянные величины. В этом уравнении отсутствует свободный член, так как положение равновесия не должно нарушать условий связи. При помощи полученного уравнения можно исключить $q_{n}$ из выражений кинетической и потенциальной энергий. Исключая, получаем:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2}\left\{\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\ldots+\dot{q}_{n-1}^{2}+\frac{1}{A_{n}^{2}}\left(A_{1} \dot{q}_{1}+A_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+A_{n-1} \dot{q}_{n-1}\right)^{2}\right\}, \\
V=\frac{1}{2}\left\{\lambda_{1} q_{1}^{2}+\lambda_{2} q_{2}^{2}+\ldots+\lambda_{n-1} q_{n-1}^{2}+\frac{\lambda_{n}}{A_{n}^{2}}\left(A_{1} q_{1}+A_{2} q_{2}+\ldots+A_{n-1} q_{n-1}\right)^{2}\right\} .
\end{array}
\]

Уравнения движения системы с новой связью состоят, следовательно, из $n-1$ уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{r}+\lambda_{r} q_{r}+A_{r}\left\{\frac{1}{A_{n}^{2}}\left(A_{1} \ddot{q}_{1}+\ldots+A_{n-1} \ddot{q}_{n-1}\right)+\right. \\
\\
\left.+\frac{\lambda_{n}}{A_{n}^{2}}\left(A_{1} q_{1}+\ldots+A_{n-1} q_{n-1}\right)\right\}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n-1)
\end{array}
\]

или
\[
\ddot{q}_{r}+\lambda_{r} q_{r}+\mu A_{r}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n-1),
\]

где
\[
\begin{aligned}
\mu & =\frac{1}{A_{n}^{2}}\left(A_{1} \ddot{q}_{1}+\ldots+A_{n-1} \ddot{q}_{n-1}\right)+ \\
& +\frac{\lambda_{n}}{A_{n}^{2}}\left(A_{1} q_{1}+\ldots+A_{n-1} q_{n-1}\right)=-\frac{\ddot{q}_{n}}{A_{n}}-\frac{\lambda_{n} q_{n}}{A_{n}} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, уравнения движения системы со связью могут быть представлены в виде:
\[
\ddot{q}_{r}+\lambda_{r} q_{r}+\mu A_{r}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $\mu$ – неизвестно.
Пусть нормальное колебание измененной системы определяется уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
q_{1}=\alpha_{1} \cos \sqrt{\lambda t}, \quad q_{2}=\alpha_{2} \cos \sqrt{\lambda t}, \ldots, q_{n}=\alpha_{n} \cos \sqrt{\lambda t}, \\
\mu=
u \cos \sqrt{\lambda t} .
\end{array}
\]

Подстановка в уравнения движения дает:
\[
\alpha_{r}\left(\lambda_{r}-\lambda\right)+
u A_{r}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Подставляя определяемые этими уравнениями значение $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$, $\alpha_{n}$ в уравнение
\[
A_{1} \alpha_{1}+A_{2} \alpha_{2}+\ldots+A_{n} \alpha_{n}=0,
\]

получим:
\[
\frac{A_{1}^{2}}{\lambda_{1}-\lambda}+\frac{A_{2}^{2}}{\lambda_{2}-\lambda}+\ldots+\frac{A_{n}^{2}}{\lambda_{n}-\lambda}=0 .
\]

Это уравнение, определяющее $\lambda$, имеет $n-1$ корней, которые, как это легко заключить из формы уравнения, лежат в интервалах между величинами $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$. Соответствующие этим корням значения величины $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda}}$ и будут периодами нормальных колебаний системы с дополнительной связью. Следовательно, $n-1$ периодов нормальных колебаний системы с дополнительной связью лежат между п периодами первоначальной системы.