Если при центральном движении центр сил расположен в большом удалении от рассматриваемой части силового поля, то сила будет действовать на материальную точку в различных ее положениях почти в одном и том же направлении. Предельный случай – при бесконечно удаленной силе и дает проблему движения материальной точки в поле параллельных сил.
${ }^{1}$ Результат установленный Эйлером в его Determinatio Orbitae Cometae Anni 1742 (1743) еще до опубликования общей теоремы Ламбертом.
Для исследования последнего случая введем в плоскости движения прямоугольные оси $O x$ и $O y$, так, чтобы ось $O x$ была направлена параллельно силам. Пусть $X(x)$ означает силу и пусть она не зависит от $y$. Будем иметь уравнения движения:
\[
\ddot{x}=X(x), \quad \ddot{y}=0,
\]
что дает после интеграции:
\[
t=a y+b=\int^{x}\left\{2 \int X(x) d x+c\right\}^{-\frac{1}{2}} d x+l,
\]
где $a, b, c, l$ – постоянные интегрирования; их значения определяются по начальным данным для $x, y, \dot{x}, \dot{y}$. Если, с одной стороны, можно трактовать движение в поле параллельных осей как частный случай центрального движения, то, с другой стороны, достаточно иметь решение этой специальной задачи, чтобы указать его и в общем случае. Действительно, если материальная точка притягивается силой $P$, направленной в начало координат, то уравнения ее движения суть:
\[
\ddot{x}=-P \frac{x}{r}, \quad \ddot{y}=-P \frac{y}{r} .
\]
Момент количества движения движущейся точки относительно начала координат имеет постоянное значение $x \dot{y}-y \dot{x}=h$. Введем новые координаты $X$ и $Y$ с помощью подстановки
\[
X=\frac{x}{y}, \quad Y=\frac{1}{y} .
\]
Определим также новую переменную $T$ уравнением:
\[
T=\int \frac{d t}{y^{2}} .
\]
Тогда будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d X}{d T}=\frac{d}{d t}\left(\frac{x}{y}\right) \frac{d t}{d T}=\left(\frac{\dot{x}}{y}-\frac{\dot{y} x}{y^{2}}\right) y^{2}=-h, \\
\frac{d Y}{d T}=\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{y}\right) \frac{d t}{d T}=-\frac{\dot{y}}{y^{2}} y^{2}=-\dot{y}
\end{array}
\]
поэтому
\[
\frac{d^{2} X}{d T^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} Y}{d T^{2}}=-y^{2} \ddot{y}=-P \frac{y^{3}}{r} .
\]
Если $T$ рассматривать как время, то из этих уравнений следует, что материальная точка с координатами $X, Y$ движется так, как будто на нее действует сила, параллельная оси $Y$ величины $-\frac{P y^{3}}{r}$.
Так как из решения этой подмененной задачи выводится решение и первоначальной, то, следовательно, задачу центрального движения можно свести к задаче движения в поле параллельных сил.
ЗАДАчА 1. Показать, что материальная точка, подверженная действию только силы тяжести, описывает параболу с вертикальной осью и с раствором вниз.
ЗАДАчА 2. Под действием силы, параллельной оси $x$, точка может описывать кривую $f(x, y)=0$. Показать, что величина силы отличается только постоянным множителем от величины:
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{-3}\left\{-\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}\right\} .
\]
ЗАДАчА 3. Доказать, что если материальная точка при любом начальном движении в поле параллельных сил движется всегда по коническому сечению, то сила обратно пропорциональна третьей степени расстояния от некоторой прямой, перпендикулярной направлению силы.
