Уравнения импульсивного движения динамической системы могут быть приведены к виду, аналогичному уравнениям Лагранжа для движения под действием конечных сил ${}^1$.

Пусть $X_i,Y_i,Z_i$ означают компоненты полного (внешнего и внутреннего) импульса, приложенного к точке системы, имеющего массу $m_i$ и координаты $x_i,y_i,z_i$.
Тогда уравнения импульсивного движения этой точки суть:
$$m_i({\dot{x}}_i-{\dot{x}}_{i0})=X_i,m_i({\dot{y}}_i-{\dot{y}}_{i0})=Y_i,m_i({\dot{z}}_i-{\dot{z}}_{i0})=Z_i,$$

где ${\dot{x}}_{i0},{\dot{y}}_{i0},{\dot{z}}_{i0},{\dot{x}}_i,{\dot{y}}_i,{\dot{z}}_i$ суть компоненты скорости до и после импульса.

Если $q_1,q_2,\dots ,q_n$ суть $n$ независимых координат, определяющих конфигурацию системы, то
$$\begin{array}{c}\sum _i{m}_i\{({\dot{x}}_i-{\dot{x}}_{i0})\frac{\partial x_i}{\partial q_r}+({\dot{y}}_i-{\dot{y}}_{i0})\frac{\partial y_i}{\partial q_r}+({\dot{z}}_i-{\dot{z}}_{i0})\frac{\partial z_i}{\partial q_r}\}=\\ =\sum _i(X_i\frac{\partial x_i}{\partial q_r}+Y_i\frac{\partial y_i}{\partial q_r}+Z_i\frac{\partial z_i}{\partial q_r})\end{array}$$

где суммирование распространено на все точки системы.
Если выполнить суммирование в правой части этого равенства, то, так же как и в $\mathrm{\S }26$, из этой суммы выпадут внутренние импульсы, действующие между точками системы. Поэтому величина
$$\sum _i(X_i\frac{\partial x_i}{\partial q_r}+Y_i\frac{\partial y_i}{\partial q_r}+Z_i\frac{\partial z_i}{\partial q_r})$$

может быть легко определена, если известны все внешние импульсы. Обозначим ее через $Q_r$. Тогда
$$\sum _i{m}_i\{({\dot{x}}_i-{\dot{x}}_{i0})\frac{\partial x_i}{\partial q_r}+({\dot{y}}_i-{\dot{y}}_{i0})\frac{\partial y_i}{\partial q_r}+({\dot{z}}_i-{\dot{z}}_{i0})\frac{\partial z_i}{\partial q_r}\}=Q_r.$$
${}^1$ Lagrange, Mec. Anal. (2-е изд.), т. 2, стр. 183.

Но, так же, как и в $\mathrm{\S }26$,
$$\frac{\partial x_i}{\partial q_r}=\frac{\partial {\dot{x}}_i}{\partial {\dot{q}}_r},\text{ следовательно },{\dot{x}}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_r}=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_r}\left(\frac{1}{2}{\dot{x}}_i^2\right)$$

и аналогично
$${\dot{x}}_{i0}\frac{\partial x_i}{\partial q_r}=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_{r0}}\left(\frac{1}{2}{x}_{i0}^2\right),$$

где ${\dot{q}}_{r0}$ и ${\dot{q}}_r$ суть скорости, соответствующие координате $q_r$ до и после импульса. Следовательно, если
$$T=\frac{1}{2}\sum _i{m}_i({\dot{x}}_i^2+{\dot{y}}_i^2+{\dot{z}}_i^2)$$

есть кинетическая энергия системы, то предыдущее уравнение может быть написано в виде:
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}-{\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)}_0=Q_r,$$

где ${\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)}_0$ означает значение величины $\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}$ в момент, предшествующий импульсу.

Аналогичные уравнения получаются и для остальных координат $q_1,q_2,\dots ,q_n$. Мы получаем, таким образом, систему из $n$ уравнений Лагранжа для импульсивного движения:
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}-{\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)}_0=Q_r(r=1,2,\dots ,n).$$

Эти уравнения служат для определения ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$ через ${\dot{q}}_{10}$, ${\dot{q}}_{20},\dots ,{\dot{q}}_{n0}$. В отличие от уравнений Лагранжа для движения под действием конечных сил они являются алгебраическими, а не дифференциальными уравнениями, так как они не содержат вторых производных от координат по времени.