Уравнения импульсивного движения динамической системы могут быть приведены к виду, аналогичному уравнениям Лагранжа для движения под действием конечных сил ${ }^{1}$.

Пусть $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ означают компоненты полного (внешнего и внутреннего) импульса, приложенного к точке системы, имеющего массу $m_{i}$ и координаты $x_{i}, y_{i}, z_{i}$.
Тогда уравнения импульсивного движения этой точки суть:
\[
m_{i}\left(\dot{x}_{i}-\dot{x}_{i 0}\right)=X_{i}, \quad m_{i}\left(\dot{y}_{i}-\dot{y}_{i 0}\right)=Y_{i}, \quad m_{i}\left(\dot{z}_{i}-\dot{z}_{i 0}\right)=Z_{i},
\]

где $\dot{x}_{i 0}, \dot{y}_{i 0}, \dot{z}_{i 0}, \dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}, \dot{z}_{i}$ суть компоненты скорости до и после импульса.

Если $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ суть $n$ независимых координат, определяющих конфигурацию системы, то
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i} m_{i}\left\{\left(\dot{x}_{i}-\dot{x}_{i 0}\right) \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{r}}+\left(\dot{y}_{i}-\dot{y}_{i 0}\right) \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{r}}+\left(\dot{z}_{i}-\dot{z}_{i 0}\right) \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{r}}\right\}= \\
=\sum_{i}\left(X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{r}}+Y_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{r}}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{r}}\right)
\end{array}
\]

где суммирование распространено на все точки системы.
Если выполнить суммирование в правой части этого равенства, то, так же как и в $\S 26$, из этой суммы выпадут внутренние импульсы, действующие между точками системы. Поэтому величина
\[
\sum_{i}\left(X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{r}}+Y_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{r}}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{r}}\right)
\]

может быть легко определена, если известны все внешние импульсы. Обозначим ее через $Q_{r}$. Тогда
\[
\sum_{i} m_{i}\left\{\left(\dot{x}_{i}-\dot{x}_{i 0}\right) \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{r}}+\left(\dot{y}_{i}-\dot{y}_{i 0}\right) \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{r}}+\left(\dot{z}_{i}-\dot{z}_{i 0}\right) \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{r}}\right\}=Q_{r} .
\]
${ }^{1}$ Lagrange, Mec. Anal. (2-е изд.), т. 2, стр. 183.

Но, так же, как и в $\S 26$,
\[
\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{r}}=\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{r}}, \quad \text { следовательно }, \quad \dot{x}_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{r}}=\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}}\left(\frac{1}{2} \dot{x}_{i}^{2}\right)
\]

и аналогично
\[
\dot{x}_{i 0} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{r}}=\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r 0}}\left(\frac{1}{2} x_{i 0}^{2}\right),
\]

где $\dot{q}_{r 0}$ и $\dot{q}_{r}$ суть скорости, соответствующие координате $q_{r}$ до и после импульса. Следовательно, если
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right)
\]

есть кинетическая энергия системы, то предыдущее уравнение может быть написано в виде:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}-\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)_{0}=Q_{r},
\]

где $\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)_{0}$ означает значение величины $\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}$ в момент, предшествующий импульсу.

Аналогичные уравнения получаются и для остальных координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Мы получаем, таким образом, систему из $n$ уравнений Лагранжа для импульсивного движения:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}-\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)_{0}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения служат для определения $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ через $\dot{q}_{10}$, $\dot{q}_{20}, \ldots, \dot{q}_{n 0}$. В отличие от уравнений Лагранжа для движения под действием конечных сил они являются алгебраическими, а не дифференциальными уравнениями, так как они не содержат вторых производных от координат по времени.