Моменты инерции, которые определялись в предыдущем параграфе, относились по большей части к прямым, занимающим некоторые исключительные положения в теле. Однако с помощью этих результатов можно определять моменты инерции тела и относительно других прямых. Для этого воспользуемся следующей теоремой:

Пусть $f(x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, \ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z})$ – полином второй степени (не обязательно однородный) относительно координат, компонентов скорости и компонентов ускорения точки массы $m$. Пусть также $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ – координаты центра тяжести тела, представляющего совокупность таких точек. Положим
\[
x=\bar{x}+x_{1}, \quad y=\bar{y}+y_{1}, \quad z=\bar{z}+z_{1} .
\]

Если внесем теперь эти значения в функцию $f$, то будем иметь:
1. Члены, не содержащие $x_{1}, y_{1}, z_{1}$; очевидно, они все находятся в выражении:
\[
f(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}, \dot{\bar{x}}, \dot{\bar{y}}, \dot{\bar{z}}, \ddot{\bar{x}}, \ddot{\bar{y}}, \ddot{\bar{z}}) .
\]
2. Члены, не содержащие $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$, находящиеся все в выражении:
\[
f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \dot{x}_{1}, \dot{y}_{1}, \dot{z}_{1}, \ddot{x}_{1}, \ddot{y}_{1}, \ddot{z}_{1}\right) \text {. }
\]
3. Члены, линейные относительно $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \dot{x}_{1}, \dot{y}_{1}, \dot{z}_{1}, \ddot{x}_{1}, \ddot{y}_{1}, \ddot{z}_{1}$. Если составить выражение $\sum m f(x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, \ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z})$, то эти члены исчезают вследствие соотношений:
\[
\sum m x_{1}=0, \quad \sum m y_{1}=0, \quad \sum m z_{1}=0 .
\]

Поэтому получаем равенство:
\[
\begin{array}{c}
\sum m f(x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, \ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z})= \\
=\sum m f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \dot{x}_{1}, \dot{y}_{1}, \dot{z}_{1}, \ddot{x}_{1}, \ddot{y}_{1}, \ddot{z}_{1}\right)+ \\
+f(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}, \dot{\bar{x}}, \dot{\bar{y}}, \dot{\bar{z}}, \ddot{\bar{x}}, \ddot{\bar{y}}, \ddot{\bar{z}}) \sum m
\end{array}
\]

Следовательно, значение выражения $\sum m f$ относительно произвольной системы координат равно его значению относительно осей, параллельных прежним и проходящих через центр тяжести тела, сложенному с произведением массы тела на значение функции $f$ в центре тяжести, координаты которого взяты в первоначальной системе. Отсюда тотчас следует, что моменты инерции и моменты девиации тела относительно произвольных осей равны соответственным молентам инерции и девиации относительно осей, параллельных первым и проходящих через центр, тяжести тела, сложенным с соответствующими моментами инерции и девиации всей массы тела, сконцентрированной в центре тяжести относительно первоначальных осей.

В виде примера допустим, что надо вычислить момент инерции прямого, однородного стержня массы $M$ и длины $l$ относительно прямой, перпендикулярной к стержню и проходящей через один из его концов. Из предыдущего параграфа следует, что момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через середину стержня, равен $\frac{1}{3} M\left(\frac{l}{2}\right)^{2}$. Поэтому, по предыдущей теореме следует, что искомый момент инерции равен:
\[
M\left(\frac{l}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3} M\left(\frac{l}{2}\right)^{2}=\frac{1}{3} M l^{2} .
\]