Покажем теперь, как можно из уравнений Лагранжа получить явное выражение вторых производных от координат по времени.

Допустим, что конфигурация системы вполне определяется одними координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ без времени $t$, так что кинетическая энергия системы представляет собой однородную квадратичную функцию от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Согласно $\S 26$ такого рода случай представится всякий раз, когда уравнения связей не содержат явно времени, и не представятся, вообще говоря, тогда, когда среди этих условий имеются вынужденные движения (как, например, при вынужденном движении точки по вращающейся кривой).
Итак, пусть кинетическая энергия будет:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l},
\]

где $a_{k l}=a_{l k}$ суть известные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$.
Уравнения движения системы имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left(\sum_{s=1}^{n} a_{r s} \dot{q}_{s}\right)-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \frac{\partial a_{k l}}{\partial q_{r}} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

или
\[
\sum_{s=1}^{n} a_{r s} \ddot{q}_{s}+\sum_{l=1}^{n} \sum_{m=1}^{n}\left[\begin{array}{c}
l m \\
r
\end{array}\right] \dot{q}_{l} \dot{q}_{m}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где символ Кристофеля $\left[\begin{array}{c}l m \\ r\end{array}\right]$ означает величину $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial a_{l r}}{\partial q_{m}}+\frac{\partial a_{m r}}{\partial q_{l}}-\frac{\partial a_{l m}}{\partial q_{r}}\right)$.
Так как эти уравнения содержат ускорение $\ddot{q}_{s}$ линейно, то они могут быть относительно них разрешены. Пусть $D$ означает детерминант
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right|
\]

и $A_{r s}$ его миноры, соответствующие элементам $a_{r s}$. Умножая уравнения предыдущей системы соответственно на $A_{1
u}, A_{2
u}, \ldots, A_{n
u}$, складывая их и замечая, что $\sum_{r=1}^{n} A_{r
u} a_{r s}$ равна $D$ или нулю в зависимости от того $s=
u$ или $s
eq
u$, получим:
\[
D \ddot{q}_{
u}+\sum_{l=1}^{n} \sum_{m=1}^{n} \sum_{r=1}^{n} A_{r
u}\left[\begin{array}{c}
l m \\
r
\end{array}\right] \dot{q}_{l} \dot{q}_{m}=\sum_{r=1}^{n} A_{r
u} Q_{r}
\]

или
\[
\ddot{q}_{
u}=-\frac{1}{D} \sum_{l=1}^{n} \sum_{m=1}^{n} \sum_{r=1}^{n} A_{r
u}\left[\begin{array}{c}
l m \\
r
\end{array}\right] \dot{q}_{l} \dot{q}_{m}+\frac{1}{D} \sum_{r=1}^{n} A_{r
u} Q_{r} .
\]

Эти уравнения, выражающие явно $\ddot{q}_{1}, \ddot{q}_{2}, \ldots, \ddot{q}_{n}$ через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, эквивалентны системе уравнений Лагранжа.