Якоби ${ }^{1}$ для исследования движения системы из любого числа материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, ввел функцию:
\[
\frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{m_{i} m_{j}}{M} r_{i j}^{2}
\]

в которой $m_{i}$ и $m_{j}$ означают массы двух точек системы, $r_{i j}$ – расстояние между ними в момент времени $t, M$ – массу всей системы, и суммирование распространяется на всевозможные пары точек системы. Эта функция имеет значение при исследовании устойчивости системы и называется якобиевой функцией $\Phi$.

Мы будем предполагать, что центр тяжести системы находится в покое; пусть $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ будут координатами точки $m_{i}$ относительно неподвижных прямоугольных осей координат с началом в центре тяжести.
Система обладает кинетической энергией:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right)
\]

поэтому
\[
2 M T=\left(\sum_{i} m_{i}\right) \sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right) .
\]

Ho
\[
\left(\sum_{i} m_{i}\right) \sum_{i} m_{i} \dot{x}_{i}^{2}-\left(\sum_{i} m_{i} \dot{x}_{i}\right)^{2}=\sum_{i, j} m_{i} m_{j}\left(\dot{x}_{i}-\dot{x}_{j}\right)^{2},
\]

где суммирование в правой части распространено на все пары точек системы, а вследствие свойств центра тяжести $\sum_{i} m_{i} \dot{x}_{i}=0$.
Таким образом, получается:
\[
T=\frac{1}{2 M} \sum_{i, j} m_{i} m_{j}\left\{\left(\dot{x}_{i}-\dot{x}_{j}\right)^{2}+\left(\dot{y}_{i}-\dot{y}_{j}\right)^{2}+\left(\dot{z}_{i}-\dot{z}_{j}\right)^{2}\right\}=\frac{1}{2 M} \sum_{i, j} m_{i} m_{j} v_{i, j}^{2},
\]

где $v_{i j}$ означает скорость точки $m_{i}$ относительно $m_{j}$.
Аналогично можно показать, что
\[
\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)=\Phi .
\]
${ }^{1}$ Vorlesungen über Dynamik, стр. 22.

Если теперь $V$ означает потенциальную энергию системы, произвольная постоянная которой выбрана таким образом, чтобы $V$ обращалась в нуль, когда материальные точки находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга, то
\[
V=-\sum_{i, j} \frac{m_{i} m_{j}}{r_{i j}} .
\]

Уравнениями движения точки $m_{i}$ будут:
\[
m_{i} \ddot{x}_{i}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}, \quad m_{i} \ddot{y}_{i}=-\frac{\partial V}{\partial y_{i}}, \quad m_{i} \ddot{z}_{i}=-\frac{\partial V}{\partial z_{i}} .
\]

Умножим эти уравнения соответственно на $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, сложим и просуммируем их по всем точкам системы. Тогда, принимая во внимание, что $V$ есть однородная функция ( -1 )-го порядка относительно своих переменных, получим:
\[
\sum_{i} m_{i}\left(x_{i} \ddot{x}_{i}+y_{i} \ddot{y}_{i}+z_{i} \ddot{z}_{i}\right)=V
\]

или
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)-2 T=V,
\]

или
\[
\frac{d^{2} \Phi}{d t^{2}}=2 T+V
\]

Это и есть уравнение Якоби.