Иногда бывает возможным ввести потенциальную функцию или потенциальную энергию и для таких динамических систем, у которых действующие силы зависят не только от положения, но и от скоростей и ускорений.

Допустим, что динамическая система имеет координаты $q_{1}$, $q_{2}, \ldots, q_{n}$. Пусть работа внешних сил при произвольном перемещении $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}$ будет равна
\[
Q_{1} \delta q_{1}+Q_{2} \delta q_{2}+\ldots+Q_{n} \delta q_{n} .
\]

Если $Q_{r}$ может быть представлено в виде:
\[
Q_{r}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{r}}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $V$ есть функция от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, то уравнения Лагранжа принимают вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{r}}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Поэтому, если определить кинетический потенциал $L$ при помощи равенства
\[
L=T-V,
\]

то эти уравнения перейдут в
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Функция $V$ может быть рассматриваема как обобщение потенциальной энергии. Примером системы с такого рода потенциальной энергией может служить движение точки, подверженной действию электромагнитных сил притяжения от какого-нибудь неподвижного центра, по закону Вебера ${ }^{1}$. Согласно этому закону сила, действующая на точку, отнесённая к единице массы, равна:
\[
\frac{1}{r^{2}}\left(1-\frac{\dot{r}^{2}-2 r \ddot{r}}{c^{2}}\right),
\]

где $r$ – расстояние точки от притягивающего центра. В этом случае
\[
V=\frac{1}{r}\left(1+\frac{\dot{r}^{2}}{c^{2}}\right) .
\]

Задача. Силы $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, действующие на динамическую систему с координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, допускают обобщенную потенциальную функцию $V$, т. е.
\[
Q_{r}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{r}}\right) .
\]

Показать, что $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ суть линейные функции от $\ddot{q}_{1}, \ddot{q}_{2}, \ldots, \ddot{q}_{n}$ удовлетворяющие следующей системе уравнений:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial Q_{i}}{\partial \ddot{q}_{k}} & =\frac{\partial Q_{k}}{\partial \ddot{q}_{i}} \\
\frac{\partial Q_{i}}{\partial \dot{q}_{k}}+\frac{\partial Q_{k}}{\partial \dot{q}_{i}} & =\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial Q_{i}}{\partial \ddot{q}_{k}}+\frac{\partial Q_{k}}{\partial \ddot{q}_{i}}\right), \\
\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{i}} & =\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial Q_{i}}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial Q_{k}}{\partial \dot{q}_{i}}\right) .
\end{aligned}
\]

Относительно общих условий существования кинетического потенциала см. Helmholtz, Journal für Math., т. 100, 1896, Mayer, Ber. d. Sächs. Ges. d. Wiss., Math.-Phys. K1. т. 40, 1896. Hirsch, Math. Annalen, т. 50, 1898.
${ }^{1}$ W. Weber, Annalen d. Phys., т. 73, стр. 193, 1848. Whittaker, History of the Theories of Aether and Electricity, стр. 226-231.