Рассмотрим движение голономной системы с $n$ степенями свободы. Обозначим через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ координаты системы, определяющие ее конфигурацию в момент времени $t$, и через $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ – координаты какой-нибудь точки массы $m_{i}$ относительно неподвижной в пространстве прямоугольной системы осей. Эти прямоугольные координаты являются известными (в силу известности строения системы) функциями величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и, может быть, времени $t$.
${ }^{1}$ Lagrange, Mecanique Analytique, 1788, Second Partie, Section IV. Эти уравнения встречаются впервые в более ранней работе Лагранжа «Miscell. Taurin», т. 2, 1760.

Пусть эти функции представляются уравнениями:
\[
\begin{aligned}
x_{i} & =f_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t\right), \\
y_{i} & =\varphi_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t\right), \\
z_{i} & =\psi_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t\right) .
\end{aligned}
\]

Если $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ означают компоненты равнодействующей всех сил (как внутренних, так и внешних), действующих на точку $m_{i}$, то уравнения движения этой точки имеют вид:
\[
m_{i} \ddot{x}_{i}=X_{i}, \quad m_{i} \ddot{y}_{i}=Y_{i}, \quad m_{i} \ddot{z}_{i}=Z_{i} .
\]

Умножим эти уравнения соответственно на
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}, \quad \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{r}}, \quad \frac{\partial \psi_{i}}{\partial q_{r}}
\]

затем сложим их и просуммируем по всем точкам системы. Тогда получим:
\[
\sum_{i} m_{i}\left(\ddot{x}_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}+\ddot{y}_{i} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{r}}+\ddot{z}_{i} \frac{\partial \psi_{i}}{\partial q_{r}}\right)=\sum_{i}\left(X_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}+Y_{i} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{r}}+Z_{i} \frac{\partial \psi_{i}}{\partial q_{r}}\right),
\]

где знак $\sum$ означает суммирование по всем точкам системы, следовательно, либо интегрирование (если система есть твердое тело), либо суммирование по некоторому конечному числу точек. Но
\[
\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{r}}=\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}+\frac{\partial f_{i}}{\partial t}\right)=\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}
\]

и поэтому
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}=\ddot{x}_{i} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{r}}=\frac{d}{d t}\left(\dot{x}_{i} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\dot{x}_{i} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{r}}\right)= \\
=\frac{d}{d t}\left(\dot{x}_{i} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\dot{x}_{i}\left(\frac{\partial^{2} f_{i}}{\partial q_{1} \partial q_{r}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial^{2} f_{i}}{\partial q_{2} \partial q_{r}} \dot{q}_{2}+\cdots+\frac{\partial^{2} f_{i}}{\partial q_{n} \partial q_{r}} \dot{q}_{n}+\frac{\partial^{2} f_{i}}{\partial t \partial q_{r}}\right)= \\
=\frac{d}{d t}\left(\dot{x}_{i} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\dot{x}_{i} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{r}}=\frac{d}{d t}\left\{\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}}\left(\frac{1}{2} \dot{x}_{i}^{2}\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial q_{r}}\left(\frac{1}{2} \dot{x}_{i}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i} m_{i}\left(\ddot{x}_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}+\ddot{y}_{i} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{r}}+\ddot{z}_{i} \frac{\partial \psi_{i}}{\partial q_{r}}\right)= \\
=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \frac{d}{d t}\left\{\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right)\right\}-\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \frac{\partial}{\partial q_{r}}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Выражение
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right)
\]

представляющее собой полусумму произведений массы каждой отдельно взятой точки на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией системы ${ }^{1}$. В силу того, что структура системы нам известна, мы можем кинетическую энергию выразить ${ }^{2}$ как функцию величин
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, t .
\]

Мы будем ее в дальнейшем обозначать через
\[
T\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, t\right)
\]

и будем предполагать, что она нам известна как функция своих аргументов. Так как
\[
\dot{x}_{i}=\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\cdots+\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}+\frac{\partial f_{i}}{\partial t}
\]

и $\dot{y}_{i}$ и $\dot{x}_{i}$ суть также линейные функции от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, то $T$ есть квадратичная функция от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Если функции $f_{i}, \varphi_{i}$ и $\psi_{1}$ не содержат явно времени (что представляется всякий раз, когда связи системы не зависят от времени), то $\dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}, \dot{z}_{i}$ будут однородными линейными функциями от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, и $T$ будет однородной квадратичной функцией относительно тех же аргументов.

Кинетическая энергия системы в силу самого ее определения существенно положительна, следовательно, $T$ есть определенная положительная квадратичная форма относительно $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Поэтому ее дискриминант и его главные миноры любого порядка также положительны.
Из уравнений движения мы получим таким образом уравнение
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=\sum_{i}\left(X_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}+Y_{i} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{r}}+Z_{i} \frac{\partial \psi_{i}}{\partial q_{r}}\right) .
\]

Левая часть этого уравнения не зависит явно от координат отдельных точек системы; попытаемся и правую часть привести к такой же форме. Для этой цели сообщим системе перемещение, при котором координата $q_{r}$ принимает значение $q_{r}+\delta q_{r}$, а остальные координаты и время остаются неизменными. Так как система голономна, то такое перемещение возможно без нарушения связей. Координаты точки $m_{i}$ принимают при таком перемещении значения
\[
x_{i}+\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}} \delta q_{r}, \quad y_{i}+\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{r}} \delta q_{r}, \quad z_{i}+\frac{\partial \psi_{i}}{\partial q_{r}} \delta q_{r} ;
\]
${ }^{1}$ Произведение массы точки на квадрат ее скорости Лейбниц называет vis viva (Acta erud., 1695).
${ }^{2}$ Методы вычисления для твердого тела указаны в пятой главе.

поэтому сумма работ всех сил, действующих на систему, равна:
\[
\sum_{i}\left(X_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}+Y_{i} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{r}}+Z_{i} \frac{\partial \psi_{i}}{\partial q_{r}}\right) \delta q_{r} .
\]

Среди этих сил находятся и такие, которые не производят никакой работы. К ним, как мы это видели в § 23, относятся следующие силы:
1. Внутренние силы, действующие на точки твердых тел системы.
2. Давления в шарнирных стержнях неизменной длины, силы реакций в неподвижных цапфах и силы натяжения нерастяжимых нитей.
3. Силы реакции неподвижных гладких поверхностей или кривых, с которыми могут находиться в соприкосновении некоторые тела системы, а также и силы реакции абсолютно шероховатых поверхностей, если последние вообще входят в голономную систему.
4. Силы реакции гладких поверхностей или кривых, совершающие некоторые заданные движения, с которыми могут находиться в соприкосновении тела системы. В самом деле, для рассматриваемого перемещения предполагается, что $t$, если оно вообще входит в качестве координаты, не изменяется и, следовательно, поверхности и кривые при этом перемещении остаются в покое. Таким образом, этот случай приведем к предыдущему.

Все силы, приложенные к системе, за исключением тех, которые не производят работы, называются внешними. Отсюда следует, что выражение
\[
\sum_{i}\left(X_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{r}}+Y_{i} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{r}}+Z_{i} \frac{\partial \psi_{i}}{\partial q_{r}}\right) \delta q_{r}
\]

представляет собой сумму работ внешних сил при перемещении, в котором $q_{r}$ переходит в $q_{r}+\delta q_{r}$, а остальные координаты остаются неизменными. Так как структура системы и приложенные силы нам известны, то эта величина есть известная функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$. Обозначим ее через
\[
Q_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t\right) \delta q_{r} .
\]

Тогда будем иметь:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Мы получили, таким образом, $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ являются зависимыми, а $t$ – независимой переменными. Так как число уравнений равно числу зависимых переменных, то теоретически этих уравнений достаточно для определения движения при заданных начальных условиях. Резюмируя, мы можем полученный результат высказать следующим образом:

Пусть $T$ кинетическая энергия системы, а $Q_{1} \delta q_{1}+Q_{2} \delta q_{2}+\cdots+$ $+Q_{n} \delta q_{n}$ работа приложенных $\kappa$ ней внешних сил при произвольно выбираемом перемешении ( $\left.\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}\right)$, где $T, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ в силу известности структуры систелы суть известные функции om $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$.
Тогда уравнения движения системы могут быть записаны в виде:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа. В них не входят неизвестные силы реакции (например, силы напряжений). Определение этих сил реакции является задачей особого отдела механики кинетостатики ${ }^{1}$. Мы можем, следовательно, сказать: в уравнениях Лагранжа кинетостатические силы исключены.