Допустим, что одна из точек твердого тела закреплена неподвижно в пространстве. Пусть тело вращается по произвольному закону вокруг этой неподвижной точки. Рассмотрим два любых положения тела и обозначим их соответственно через $P$ и $Q$. Покажем, что из положения $P$ тело может быть переведено в положение $Q$ вращением вокруг определенной прямой $L$, проходящей через неподвижную точку, так что, следовательно, вращение вокруг точки эквивалентно вращению вокруг некоторой прямой, проходящей через эту точку.
Для доказательства этой теоремы, принадлежащей Эйлеру ${ }^{1}$, обозначим закрепленную точку через $O$, отрезки двух неразрывно связанных с телом прямых, проходящих через $O$ в положении $P$, через $O A$ и $O B$, те же отрезки в положении $Q$ – через $O A^{\prime}$ и $O B^{\prime}$. Проведем через биссектрису угла $A O A^{\prime}$ плоскость, перпендикулярную к плоскости $A O A^{\prime}$, и через биссектрису угла $B O B^{\prime}$ плоскость, перпендикулярную к плоскости $B O B^{\prime}$. Пусть $O C$ – прямая пересечения построенных таким образом плоскостей в случае, если эти плоскости не совпадают, или же – прямая пересечения плоскостей $\mathrm{OAB}$ и $O A^{\prime} B^{\prime}$ в случае, если они совпадают.
В обоих случаях прямая $O C$ расположена относительно прямых $O A^{\prime}$ и $O B^{\prime}$ так же, как и относительно прямых $O A$ и $O B$, т. е. углы $A O C$ и $B O C$ равны соответственно углам $A^{\prime} O C$ и $B^{\prime} O C$. Следовательно, положение прямой $O C$ останется неизменным, если систему $O A B C$ повернуть вокруг $O$ таким образом, чтобы прямые $O A$ и $O B$ перешли в положение $O A^{\prime}$ и $O B^{\prime}$. Так как при этом движении прямая $O C$ остается неподвижной, то оно может быть рассматриваемо как вращение вокруг прямой $O C$ на некоторый определенный угол. Таким образом, теорема доказана.
Допустим, что тело вращается вокруг одной из своих точек, закрепленной неподвижно в пространстве. Согласно теореме Эйлера перемещение этого тела из положения, занимаемого им в момент времени $t$, в положение, занимаемое в момент времени $t+\Delta t$, может быть получено вращением вокруг определенной прямой, проходящей через закрепленную точку. Предельное положение этой прямой, когда $\Delta t$ стремится к нулю, называется мгновенной осью вращения тела в момент времени $t$.
Если тело вращается вокруг неподвижной точки, то геометрическое место всех мгновенных осей вращения в теле есть некоторый конус, имеющий вершину в закрепленной точке; геометрическое место всех мгновенных осей вращения в пространстве есть также конус, с вершиной в закрепленной точке. Показать, что движение тела может быть получено качением без скольжения первого неразрывно связанного с телом конуса по второму неподвижному конусу. (Poinsot.)
Аналогично можно показать, что всякая плоская фигура может быть переведена из любого заданного положения в любое другое заданное положение в той же плоскости вращением вокруг некоторой точки плоскости или поступательным перемещением. Эта точка называется центром вращения.
Если плоская фигура движется непрерывно, то ее перемещение за бесконечно малый промежуток времени можно рассматривать как
${ }^{1}$ Novi Comment. Petrop., т. 20, стр. 189, §25, 1776.
вращение вокруг некоторой точки. Эта точка называется мгновенным центром вращения.
ЗАдАчА 1. Плоская пластинка движется произвольным образом в своей плоскости. Показать, что во всякий момент времени геометрическое место точек перегиба траекторий есть окружность, касающаяся кривых, образованных геометрическими местами мгновенных центров вращения на пластинке и плоскости, в их общей точке касания.
ЗАДАчА 2. Плоская пластинка подвергается двум последовательным перемещениям в своей плоскости. Пусть $D_{2}$ означает прямую, соединяющую оба соответствующих центра вращения, $D_{1}$ – ту прямую, которая переходит в $D_{2}$ при половине первого перемещения (т. е. при повороте на половину угла), и, наконец, $D_{3}$ – ту прямую, в которую переходит $D_{2}$ при половине второго перемещения. Показать, что точка пересечения прямых $D_{1}$ и $D_{3}$ есть центр вращения полного перемещения.
