Мы переходим теперь к изучению систем, допускающих интегралы частного вида.
Пусть динамическая система, определяемая уравнениями:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

допускает интеграл:
\[
f_{1} p_{1}+f_{2} p_{2}+\cdots+f_{n} p_{n}=\text { const, }
\]

линейный и однородный относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Здесь $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}$ суть некоторые данные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$.
Рассмотрим систему уравнений ( $n-1$ )-го порядка:
\[
\frac{d q_{1}}{f_{1}}=\frac{d q_{2}}{f_{2}}=\cdots=\frac{d q_{n}}{f_{n}} .
\]

Пусть ее система решений состоит из $n-1$ интегралов
\[
Q_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)=\text { const } \quad(r=1,2, \ldots, n-1),
\]

и пусть функция $Q_{n}$ определяется уравнением:
\[
Q_{n} \int \frac{d q_{1}}{f_{1}},
\]

где в выражении $f_{1}$ величины $q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}$ следует заменить их выражениями через $q_{1}, Q_{1}, \ldots, Q_{n-1}$.

Если переменные изменяются таким образом, что изменяется лишь только величина $Q_{n}$, а величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n-1}$ остаются постоянными, то в силу предыдущего уравнения получаем:
\[
\frac{d q_{1}}{f_{1}}=\frac{d q_{2}}{f_{2}}=\cdots=\frac{d q_{n}}{f_{n}}=d Q_{n} .
\]

Следовательно, если величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ будем рассматривать как новые переменные, через которые могут быть выражены старые переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, то
\[
\frac{\partial q_{k}}{\partial Q_{n}}=f_{k} \quad(k=1,2, \ldots, n)
\]

Рассмотрим теперь контактное преобразование, являющееся расширением точечного преобразования из переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, так что новые переменные $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ определяются (132) уравнениями:
\[
P_{r}=\sum_{k=1}^{n} p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

В силу этого преобразования дифференциальные уравнения динамической системы переходят в новую систему Гамильтона:
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

а известный интеграл в

\[
P_{n}=\text { const. }
\]

Так как $\frac{d P_{n}}{d t}=0$, то $\frac{\partial K}{\partial Q_{n}}=0$ и, следовательно, $K$ не содержит явно $Q_{n}$. Таким образом, получаем теорему: Если динамическая система допускает интеграл, линейный и однородный относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, то всегда существует такое точечное преобразование переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ в новые переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, при котором преобразованная функция Гамильтона не содержит явно $Q_{n}$. Преобразованная система имеет, следовательно, циклическую координату, и мы имеем теорему: Интегралами, линейными относительно импульсов, обладают только такие динамические системы, которые либо имеют циклические координаты, либо могут быть преобразованы в системы с циклическими коорднатами при помощи расииренного точечного преобразования.
Обратная теорема, очевидно, также справедлива.
Этот результат может быть также получен и из теоремы ( $\S 144$ ), т. е. что дифференциальные уравнения движения допускают бесконечно малое преобразование с символом $(\varphi, f)$, если
\[
\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)=\text { const }
\]

есть интеграл системы. В самом деле, если функция $\varphi$ – линейна и однородна относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, то это преобразование (§132) является расширенным точечным преобразованием. Если это точечное преобразование при помощи преобразования координат преобразовано в точечное преобразование с символом $\frac{\partial f}{\partial Q_{n}}$, то функция преобразованных уравнений Гамильтона не может, очевидно, явно зависеть от $Q_{n}$.

Рассмотрим теперь систему частного вида, у которой кинетический потенциал складывается из кинетической энергии $T\left(\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}\right.$, $\left.q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$, являющейся квадратичной функцией скоростей $\dot{q}_{1}$, $\dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, и из потенциальной энергии $V\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$, которая от скоростей не зависит. Для того чтобы эта система допускала интеграл, линейный относительно скоростей, необходимо, чтобы она либо имела циклическую координату, либо могла быть переведенной в такую систему при помощи точечного преобразования. Но в обоих случаях функции $T$ и $V$ допускают одно и то же бесконечно малое преобразование, а именно то преобразование, которое соответствует бесконечно малому изменению одной лишь циклической координаты, при неизменных остальных координатах и скоростях, если координаты выбраны таким образом, что одна из них является циклической. Обратно, если $T$ и $V$ допускают одно и то же бесконечно малое преобразование, то система допускает интеграл, линейный относительно скоростей. Этот результат представляет собой теорему Леви (Lévy) ${ }^{1}$, опубликованную им в 1878 г.

${ }^{1}$ Comptes Rendus, т. 86.

ЗАДАчА 1. Показать, что если уравнения движения материальной точки допускают интеграл, линейный относительно импульсов, то направление действия силы принадлежит к некоторому линейному комплексу (Cerruti, Collect, math. in mem. D. Chetini. Cp. P. Grossi, Rend. di Palermo, т. 24, стр. 25, 1907)

Задача 2. Пусть уравнения:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} a_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}$, а $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{n n}$ суть данные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, допускают интеграл:
\[
C_{1} \dot{q}_{1}+C_{2} \dot{q}_{2}+\cdots+C_{n} \dot{q}_{n}+C=\text { const, }
\]

где $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}$ – функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Показать, что неизменяемая система может быть перемещена в некотором направлении из любого положения в пространстве $S_{n}$, определяемого формой:
\[
d s^{2}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} a_{i k} d \dot{q}_{i} d \dot{q}_{k} .
\]

Показать, что необходимое и достаточное условие для этого заключается в том, что $d s^{2}$ может быть преобразован таким образом, что коэффициенты не будут содержать одной из переменных. (Cerruti и Lévy.)