Рассмотрим произвольную консервативную голономную систему, конфигурация которой для всякого момента времени определяется $n$ независимыми координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и которая имеет кинетический потенциал $L$. Пусть $A B$ – дуга кривой в $n$ мерном пространстве, представляющая отрезок траектории системы, и пусть $C D$ – смежная дуга кривой, которая может и не быть отрезком траектории системы. Введением дополнительных сил можно, конечно, добиться, чтобы и $C D$ стала траекторией. Пусть точка $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, изображающая конфигурацию системы в момент времени $t$, находится в точке $P$ дуги $A B$. Предположим, что каждой точке на $C D$ поставлен в соответствие определенный момент времени таким образом, что на $C D$ (или на кривой, частью которой является $C D$ ) существует точка, отвечающая тому же моменту времени, что и точка $P$. Допустим также, что при обходе дуги $C D$ соответствующие значения времени изменяются в одном направлении. Если точка описывает дугу $C D$, то ее последовательным положениям соответствует непрерывная последовательность значений $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$. И, таким образом, каждой точке на $C D$ соответствует также система значений $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$.

Обозначим через $\delta$ изменение, отвечающее переходу от точки дуги $A B$ к той точке кривой $C D$, которая соответствует тому же моменту времени. Через $t_{0}, t_{1}, t_{0}+\Delta t_{0}, t_{1}+\Delta t_{1}$ обозначим значения времени, отвечающие соответственно концам $A, B, C$ и $D$; наконец, через $L_{R}$ обозначим значение функции $L$ в произвольной точке $R$, лежащей на одной из обеих дуг кривых.
Если теперь образуем разность значений интеграла
\[
\int L\left(\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t\right) d t,
\]

распространенного на дуги $A B$ и $C D$, то получим:
\[
\begin{array}{c}
\int_{C D} L d t-\int_{A B} L d t=L_{B} \Delta t_{1}-L_{A} \Delta t_{0}+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta L d t= \\
=L_{B} \Delta t_{1}-L_{A} \Delta t_{0}+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{\partial L}{\partial q_{r}} \delta q_{r}\right) d t= \\
=L_{B} \Delta t_{1}-L_{A} \Delta t_{0}+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{r=1}^{n}\left\{\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) \delta q_{r}\right\} d t .
\end{array}
\]

На основании уравнений Лагранжа имеем:
\[
\begin{array}{c}
\int_{C D} L d t-\int_{A B} L d t=L_{B} \Delta t_{1}-L_{A} \Delta t_{0}+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d}{d t}\left(\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta q_{r}\right) d t= \\
=L_{B} \Delta t_{1}-L_{A} \Delta t_{0}+\left(\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta q_{r}\right)_{B}^{n}-\left(\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta q_{r}\right)_{A} .
\end{array}
\]

Если обозначить через $\left(\Delta q_{r}\right)_{B}$ прирост $q_{r}$ при переходе от $B$ к $D$, то имеем:
\[
\left(\Delta q_{r}\right)_{B}=\left(\delta q_{r}\right)_{B}+\left(\dot{q}_{r}\right)_{B} \Delta t_{1} ;
\]

точно так же, если $\left(\Delta q_{r}\right)_{A}$ есть соответствующий прирост $q_{r}$ при переходе от $A$ к $C$, то
\[
\left(\Delta q_{r}\right)_{A}=\left(\delta q_{r}\right)_{A}+\left(\dot{q}_{r}\right)_{A} \Delta t_{0}
\]

и, следовательно,
\[
\int_{C D} L d t-\int_{A B} L d t=\left[\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \Delta q_{r}+\left(L-\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \dot{q}_{r}\right) \Delta t\right]_{A}^{B} .
\]

Допустим теперь, что точка $C$ совпадает с $A$, а точкам $D$ и $B$ и точкам $C$ и $D$ отвечают соответственно моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$, так что величины $\Delta q_{1}, \Delta q_{2}, \ldots, \Delta q_{n}, \Delta t$ в точках $A$ и $B$ уничтожаются. Последнее равенство переходит в следующее:
\[
\int_{C D} L d t-\int_{A B} L d t=0
\]

и мы из этого заключаем, что интеграл $\int L d t$ для любого отрезка $A B$ траектории системы принимает стационарное значение, если в качестве смежных кривых сравнения $C D$ берутся такие, которые имеют одинаковые концы с соответственно одинаковыми моментами времени для этих концов. Эта теорема именуется принципом Гамильтона ${ }^{1}$.

Если кинетический потенциал $L$ не содержит явно времени, то условие, что время должно иметь одинаковые для обеих дуг кривых начальное и конечное значения, мы, очевидно, можем заменить условием, что время пробега кривых $A B$ и $C D$ одно и то же. Действительно, величина $\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-L$, представляющая полную энергию, в этом случае постоянна.

Гельмгольц (Journ. f. Math., т. 100, стр. 151) нашел, что условиями стационарности величины
\[
\int\left\{L\left(\vartheta_{1}, \vartheta_{2}, \ldots, \vartheta_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)+\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \vartheta_{r}}\left(\dot{q}_{r}-\vartheta_{r}\right)\right\} d t
\]
(где $\vartheta$ и $q$ считаются независимыми переменными) будут: $\vartheta_{r}=\dot{q}_{r}$,
\[
0=\frac{\partial L}{\partial q_{r}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \vartheta_{r}}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

так что вопрос снова сводится к уравнениям Лагранжа.