Мы показали, что последние полученные нами уравнения справедливы для таких видов движения, которые мало отклоняются от стационарного состояния движения или положения равновесия, как, например, при колебательном движении математического маятника или при исследованных в $\S 181$ движениях в задаче трех тел. Но эти уравнения справедливы также и для движений совсем иного вида, в частности для движения планет вокруг Солнца или Луны вокруг Земли.
Рассмотрим, например, дифференциальные уравнения движения задачи трех тел, полученные в $§ 160$, и преобразуем эти уравнения при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
p_{r}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}}, \quad p_{r}^{\prime}=-\frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2,3,4),
\]
где
\[
\begin{array}{l}
W=q_{1}^{\prime} q_{3}+q_{2}^{\prime} q_{4}+\int^{q_{1}}\left\{-\frac{\mu^{2} m_{1}^{2} m_{2}^{2}}{{q_{3}^{\prime}}_{3}^{2}}+\frac{2 \mu m_{1} m_{2}}{q_{1}}-\frac{q_{1}^{\prime 2}}{q_{1}^{2}}\right\}^{\frac{1}{2}} d q_{1}+ \\
+\int^{q_{2}}\left\{-\frac{{\mu^{\prime}}^{2} m_{1}^{2} m_{3}^{2}}{{q^{\prime}}_{4}^{2}}+\frac{2 \mu^{\prime} m_{1} m_{3}}{q_{2}}-\frac{{q^{\prime}}_{2}^{2}}{q_{2}^{2}}\right\}^{\frac{1}{2}} d q_{2} . \\
\end{array}
\]
Новые переменные могут быть истолкованы следующим образом: Допустим, что к моменту времени $t$ на точку $\mu$ перестают действовать все приложенные к ней силы, за исключением силы, равной по величине $\frac{m_{1} m_{2}}{q_{1}^{2}}$ и направленной к началу. Пусть $а$ означает большую полуось эллипса, описываемого в это мгновение, а $e$ – его эксцентриситет. Тогда
\[
q_{1}^{\prime}=\left\{m_{1} m_{2} \mu a\left(1-e^{2}\right)\right\}^{\frac{1}{2}}, q_{3}^{\prime}=\left\{m_{1} m_{2} \mu a\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]
Если соответствующим образом выбрать нижние пределы интегралов, то $p_{1}^{\prime}+q_{3}$ будет истинной аномалией, а $-p_{3}^{\prime}$ – средней аномалией точки $\mu$ в этом эллипсе. Переменные $q_{2}^{\prime}, q_{4}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, p_{4}^{\prime}$ связаны аналогичным образом с точкой $\mu^{\prime}$.
Уравнения принимают вид:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2,3,4),
\]
Если массы точек $m_{2}$ и $m_{3}$ малы по сравнению с $m_{1}$ и эти точки описывают траектории типа траекторий планет вокруг $m_{1}$, то $H$, как это нетрудно показать, может быть представлена в новых переменных следующим образом:
\[
H=a_{0000}+\sum a_{n_{1} n_{2} n_{3} n_{4}} \cos \left(n_{1} p_{1}^{\prime}+n_{2} p_{2}^{\prime}+\cdots+n_{4} p_{4}^{\prime}\right) .
\]
При этом коэффициенты $а$ зависят только от $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}, q_{4}^{\prime}$, суммирование распространяется на нулевые положительные и отрицательные целые значения чисел $n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}$ и величина $a_{0000}$ является наиболее важным членом ряда. Так как разложение $H$ имеет такой же характер, как и в $\S 193$, то отсюда следует, что излагаемый ниже метод решения одинаково справедлив как для движений, рассмотренных в $\S 181$, так и для движений типа движения планет.
