Мы показали, что последние полученные нами уравнения справедливы для таких видов движения, которые мало отклоняются от стационарного состояния движения или положения равновесия, как, например, при колебательном движении математического маятника или при исследованных в $\mathrm{\S }181$ движениях в задаче трех тел. Но эти уравнения справедливы также и для движений совсем иного вида, в частности для движения планет вокруг Солнца или Луны вокруг Земли.

Рассмотрим, например, дифференциальные уравнения движения задачи трех тел, полученные в $\S 160$, и преобразуем эти уравнения при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
$$p_r=\frac{\partial W}{\partial q_r},p_r^{\prime }=-\frac{\partial W}{\partial q_r^{\prime }}(r=1,2,3,4),$$

где
$$\begin{array}{l}W=q_1^{\prime }{q}_3+q_2^{\prime }{q}_4+{\int }^{q_1}{\{-\frac{{\mu }^2{m}_1^2{m}_2^2}{{q_3^{\prime }}_3^2}+\frac{2\mu m_1{m}_2}{q_1}-\frac{q_1^{\prime 2}}{q_1^2}\}}^{\frac{1}{2}}d{q}_1+\\ +{\int }^{q_2}{\{-\frac{{{\mu }^{\prime }}^2{m}_1^2{m}_3^2}{{q^{\prime }}_4^2}+\frac{2{\mu }^{\prime }{m}_1{m}_3}{q_2}-\frac{{q^{\prime }}_2^2}{q_2^2}\}}^{\frac{1}{2}}d{q}_2.\end{array}$$

Новые переменные могут быть истолкованы следующим образом: Допустим, что к моменту времени $t$ на точку $\mu$ перестают действовать все приложенные к ней силы, за исключением силы, равной по величине $\frac{m_1{m}_2}{q_1^2}$ и направленной к началу. Пусть $а$ означает большую полуось эллипса, описываемого в это мгновение, а $e$ — его эксцентриситет. Тогда
$$q_1^{\prime }={\left\{m_1{m}_2\mu a(1-e^2)\right\}}^{\frac{1}{2}},q_3^{\prime }={\left\{m_1{m}_2\mu a\right\}}^{\frac{1}{2}}.$$

Если соответствующим образом выбрать нижние пределы интегралов, то $p_1^{\prime }+q_3$ будет истинной аномалией, а $-p_3^{\prime }$ — средней аномалией точки $\mu$ в этом эллипсе. Переменные $q_2^{\prime },q_4^{\prime },p_2^{\prime },p_4^{\prime }$ связаны аналогичным образом с точкой ${\mu }^{\prime }$.
Уравнения принимают вид:
$$\frac{d{q}_r^{\prime }}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r^{\prime }},\frac{d{p}_r^{\prime }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r^{\prime }}(r=1,2,3,4),$$

Если массы точек $m_2$ и $m_3$ малы по сравнению с $m_1$ и эти точки описывают траектории типа траекторий планет вокруг $m_1$, то $H$, как это нетрудно показать, может быть представлена в новых переменных следующим образом:
$$H=a_{0000}+\sum a_{n_1{n}_2{n}_3{n}_4}\cos (n_1{p}_1^{\prime }+n_2{p}_2^{\prime }+\cdots +n_4{p}_4^{\prime }).$$

При этом коэффициенты $а$ зависят только от $q_1^{\prime },q_2^{\prime },q_3^{\prime },q_4^{\prime }$, суммирование распространяется на нулевые положительные и отрицательные целые значения чисел $n_1,n_2,n_3,n_4$ и величина $a_{0000}$ является наиболее важным членом ряда. Так как разложение $H$ имеет такой же характер, как и в $\mathrm{\S }193$, то отсюда следует, что излагаемый ниже метод решения одинаково справедлив как для движений, рассмотренных в $\mathrm{\S }181$, так и для движений типа движения планет.