Займемся выводом одного интеграла, играющего весьма важную роль во всех динамических исследованиях и во всех вопросах физики.

Допустим, что связи консервативной динамической системы с координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и с кинетическим потенциалом $L$ не зависят от времени и, следовательно, кинетический потенциал $L$ не содержит явно $t$, а зависит лишь только от переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Относительно $L$ мы не делаем пока никаких дальнейших ограничений, так что исследование одинаково справедливо как для натуральных систем, так и для ненатуральных, получающихся после приведения систем с циклическими координатами.
Имеем:
\[
\frac{d L}{d t}=\sum_{r=1}^{n} \ddot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}+\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial q_{r}}=\sum_{r=1}^{n} \ddot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}+\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)=\frac{d}{d t} \sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} .
\]

Интегрируя, получаем:
\[
\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-L=h
\]

где $h$ – постоянная. Это уравнение, представляющее собой интеграл уравнений движения, называется интегралом энергии или законом сохранения энергии ${ }^{1}$.

Как мы видели, для натуральных систем, связи которых не зависят от времени, кинетический потенциал $L$ может быть представлен в виде $T-V$, где кинетическая энергия $T$ представляет собой однородную функцию второго порядка относительно скоростей, а $V$ зависит лишь только от координат. В этом случае интеграл энергии принимает вид:
\[
h=\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-L=\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}-T+V=2 T-T+V=T+V
\]

так как $T$ есть однородная функция второго порядка относительно
\[
\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n} .
\]

Отсюда следует: В консервативных натуральных системах сумма кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная. Это постоянное значение называется полной энергией системы.

Предыдущий результат может быть также получен и непосредственно из элементарных уравнений движения. Ибо из уравнений движения для одной материальной точки:
\[
m_{i} \ddot{x}_{i}=X_{i}, \quad m_{i} \ddot{y}_{i}=Y_{i}, \quad m_{i} \ddot{z}_{i}=Z_{i}
\]
${ }^{1}$ Этот закон развит трудами Гюйгенса, Ньютона, И. и Д. Бернулли и Лагранжа из элементарного частного случая, который был известен еще Галилею, что скорость материальной точки, падающей по наклонной плоскости, зависит только от высоты падения.

вытекает
\[
\sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i} \ddot{x}_{i}+\dot{y}_{i} \ddot{y}_{i}+\dot{z}_{i} \ddot{z}_{i}\right)=\sum_{i}\left(X_{i} \dot{x}_{i}+Y_{i} \dot{y}_{i}+Z_{i} \dot{z}_{i}\right),
\]

где суммирование распространяется на все точки системы, или
\[
d \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right)=\sum_{i}\left(X_{i} d x_{i}+Y_{i} d y_{i}+Z_{i} d z_{i}\right) .
\]

Приращение кинетической энергии при бесконечно малом перемещении системы равно, следовательно, работе действующих на систему сил при этом перемещении, т. е. равно убыли потенциальной энергии. Сумма кинетической и потенциальной энергий остается, следовательно, постоянной.
Уравнение энергии
\[
d \frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=X d x+Y d y+Z d z
\]
(где для простоты система принимается состоящей только из одной материальной точки) остается справедливым не только тогда, когда $x, y, z$ означают координаты в какой-нибудь абсолютно покоящейся системе. Система отсчета может также находиться в равномерном поступательном движении в какомнибудь определенном направлении.

Допустим, в самом деле, что $\xi, \eta, \zeta$ означают координаты точки относительно неподвижной в пространстве системы, параллельно подвижной системе $O x y z$, так что
\[
x=\xi-a t, \quad y=\eta-b t, \quad z=\zeta-c t,
\]

где $a, b, c$ означают постоянные компоненты скорости начала $O$ подвижной системы. Из уже доказанного соотношения
\[
d \frac{1}{2} m\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}+\dot{\zeta}^{2}\right)=X d \xi+Y d \eta+Z d \zeta
\]

вытекает, что
\[
d \frac{1}{2} m\left\{(\dot{x}+a)^{2}+(\dot{y}+b)^{2}+(\dot{z}+c)^{2}\right)=X(d x+a d t)+Y(d y+b d t)+Z(d z+c d t)
\]

или
\[
d \frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+d m(a \dot{x}+b \dot{y}+c \dot{z})=X d x+Y d y+Z d z+(a X+b Y+c Z) d t .
\]

Ho
\[
d m(a \dot{x}+b \dot{y}+c \dot{z})=m(a \ddot{x}+b \ddot{y}+c \ddot{z}) d t=m(a \ddot{\xi}+b \ddot{\eta}+c \ddot{\zeta}) d t=(a X+b Y+c Z) d t
\]

и поэтому
\[
d \frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=X d x+Y d y+Z d z,
\]

чем и догазывается теорема.

Заметим, что из этого результата могут быть получены уравнения движения материальной точки. Для этого следует положить $x=\xi-a t$ и т. д. и вычесть из уравнения энергии в координатах $\xi, \eta, \zeta$ уравнение энергии в координатах $x, y, z$.