1. Материальная точка под действием тяжести движется без трения по циклоиде
\[
s=4 a \sin \varphi,
\]

где $s$ – дуга, а $\varphi$ – угол касательной с горизонтом. Показать, что движение имеет период $4 \pi \sqrt{\frac{a}{g}}$.
2. Точка движется без трения по окружности под действием силы, которая направлена в неподвижную точку и пропорциональна расстоянию от этой точки. Показать, что движение будет типа движения маятника.
3. Точка движется по прямой под действием двух отталкивающих центров равной напряженности $\mu$ и расположенных на расстоянии $2 c$ друг от друга. Каждая сила обратно пропорциональна квадрату расстояния.

На расстоянии $k c(k<1)$ от середины прямой, соединяющей центры, находится материальная точка, обладающая нулевой начальной скоростью. Показать, что точка будет колебаться с периодом:
\[
\frac{2 \sqrt{c^{3}\left(1-k^{2}\right)}}{\mu} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-k^{2} \sin ^{2} \vartheta\right)^{\frac{1}{2}} d \vartheta .
\]
(Camb. Math. Tripos, часть 1, 1899.)
4. Точка падает по кривой из состояния покоя в заданной точке $O$. Показать, что кривая есть лемниската, если точка описывает любую дугу $O P$ в то же время, в которое она прошла бы соответствующую хорду $O P$.
5. Точка движется вниз по кривой $y^{3}+a x^{2}=0$, выходя из начала координат с начальной скоростью $\frac{2}{3}(2 a g)^{\frac{1}{2}}$. Ось $x$ горизонтальна. Показать, что вертикальный компонент скорости будет постоянным. (Nicomedi.)
6. В точках с полярными координатами $\vartheta=0, r=a, \vartheta=\pi$ и $r=a$ находятся центры сил, пропорциональных третьей степени расстояния. Под действием этих сил материальная точка описывает кривую $r^{2}=2 a^{2} \cos 2 \vartheta$. Показать, что если $\mu$ есть сила, действующая на единице расстояния, а скорость в узле кривой равна $\frac{2 \sqrt{\mu}}{a}$, то петля кривой проходится точкой за время $\frac{\pi a^{2}}{2 \sqrt{\mu}}$. (Camb. Math. Tripos, часть 1. 1898.)
7. Свободная материальная точка описывает пространственную кривую под действием силы, направление которой пересекает постоянно заданную прямую. Показать, что скорость точки обратно пропорциональна расстоянию ее до прямой и косинусу угла, образованного проходящей через эту прямую и точку плоскостью с нормальной плоскостью траектории. (Dainelli.)
8. Тяжелая точка вынужденно движется по прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной вертикальной оси, расположенной на заданном расстоянии. Показать, что уравнением движения будет:
\[
r=A e^{\omega t} \cos \alpha+B e^{-\omega t} \cos \alpha,
\]

где $r$ – расстояние движущейся точки до некоторой неподвижной точки на прямой, $\alpha$ – угол прямой с горизонталью, а $A$ и $B$ – постоянные. (H. am Ende.)
9. Тяжелая точка движется по прямой, которая вращается с заданной переменной угловой скоростью вокруг горизонтальной оси. Показать, что уравнением движения будет:
\[
\ddot{r}=\mp g \sin \alpha \sin \vartheta-r \dot{\vartheta}^{2} \sin ^{2} \alpha \mp a \ddot{\vartheta} \sin \alpha,
\]

где $\alpha$ – угол между прямой и осью вращения, $\vartheta-$ угол вертикали с кратчайшим расстоянием между осью и прямой и $r$ – расстояние движущейся точки до точки пересечения этого кратчайшего расстояния с вращающейся прямой. (Vollhering.)
10. Точка скользит без трения по прямой, которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Показать, что если движущаяся точка выходит из положения относительного покоя в точке пересечения прямой с ее кратчайшим расстоянием до оси, то за время $t$ он пройдет по прямой отрезок, равный
\[
\frac{2 g}{\omega^{2}} \frac{\cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha} \operatorname{sh}^{2}\left(\frac{1}{2} \omega t \sin \alpha\right),
\]

где $\alpha$ – угол прямой с вертикалью. (Camb. Math. Tripos, часть 1, 1899.)
11. Точка, на которую не действуют никакие внешние силы, вынуждена оставаться на круге, который вращается вокруг неподвижной точки в своей плоскости. Показать, что точка имеет движение, подобное движению маятника
12. Колечко скользит по проволоке, изогнутой в круг радиуса $a$, которая вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ относительно одной из своих точек. В начальный момент колечко находится в конце диаметра, проведенного через центр вращения, и имеет скорость относительно проволоки $2 \omega b$. Показать, что положение колечка будет определяться равенствами:
\[
\sin \varphi=\operatorname{sn} b \frac{\omega t}{a} \quad\left(\bmod \frac{a}{b}\right)
\]

или
\[
\sin \varphi=\left(\frac{b}{a}\right) \operatorname{sn} \omega t \quad\left(\bmod \frac{b}{a}\right),
\]

смотря потому $a<b$ или $a>b, \varphi$ означает угол между радиусомвектором колечка и указанным выше диаметром. (Camb. Math. Tripos, часть 1,1900 .)
13. Кривая
\[
x^{3}+y^{3}=a^{3}
\]

описывается точкой под действием силы, направленной перпендикулярно асимптоте. Показать, что сила пропорциональна выражению
\[
x y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-3} .
\]
14. На материальную точку действует сила, компоненты которой $X, Y$, в направлении неподвижных осей представляют сопряженные функции координат. Показать, что задача всегда разрешима в квадратурах.
15. Пусть $C$ есть замкнутая траектория, которую описывает материальная точка под действием центральной силы, $S$ – центр сил, $O$ центр тяжести кривой $C$ и $G$ – центр тяжести той же кривой в предположении, что плотность в каждой ее точке обратно пропорциональна скорости. Показать, что точки $S, O, G$ лежат на прямой, и что $2 S G=3 S O$. (Laisant.)
16. Показать, что движение точки в плоскости под действием постоянной силы, направленной в точку, не лежащую в плоскости, может быть выражено в эллиптических функциях.
17. Показать, что кривые
\[
a x+b y+c=x f\left(\frac{y}{x}\right),
\]

где $a, b, c$ – произвольные постоянные, а $f$ – заданная функция, могут описываться точкой под действием одной и той же центральной силы с центром в начале координат.
18. Материальной точкой описывается окружность под действием притягивающей силы с центром на этой окружности. Показать, что сила обратно пропорциональна пятой степени расстояния.
19. Материальная точка описывает подеру окружности относительно произвольной точки плоскости, служащей одновременно центром действующей на точку силы. Показать, что сила имеет вид:
\[
\frac{A}{r^{4}}+\frac{B}{r^{5}}
\]

где $A$ и $B$ – постоянные.
Показать также, что вид силы будет тот же, если будет описываться инверсия эллипса относительно фокуса. (Curtis.)
20. Из точки с координатами $r=R, \vartheta=0$ брошена материальная точка со скоростью $V$, составляющей с радиусом-вектором точки угол $\alpha$. Пусть $f(r, \vartheta, R, V, \sin \alpha)=0$ – уравнение траектории при этих условиях. Доказать, что при тех же начальных данных, но при дополнительной центральной силе $\frac{\mu}{r^{3}}$ точка опишет кривую
\[
f\left[r, n \vartheta, R, V\left(n^{2} \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)^{\frac{1}{2}}, n \sin \alpha\left(n^{2} \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)^{-\frac{1}{2}}\right]=0,
\]

где
\[
n^{2}=f-\frac{\mu}{V^{2} R^{2} \sin ^{2} \alpha} .
\]
21. Точка массы 1 описывает кривую под действием притягивающей силы $P$ с центром в начале координат и трансверсальной силы $T$, перпендикулярной к радиусу-вектору. Показать, что дифференциальное уравнение кривой будет:
\[
\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}+u=\frac{P}{h^{2} u^{2}}-\frac{T}{h^{2} u^{3}} \frac{d u}{d \vartheta}, \quad \frac{d^{2} h}{d \vartheta^{2}}=2 T u^{-3} .
\]

Доказать также, что если сила $P$ равна нулю и точка движется по логарифмической спирали с углом наклона $\alpha$ к радиусу-вектору, то при этом
\[
T=\mu r^{2 \sec ^{2} \alpha-3}, \quad h=(\mu \sin \alpha \cos \alpha)^{\frac{1}{2}} r^{\sec ^{2} \alpha} .
\]
22. Материальная точка, на которую действует центральная сила, пропорциональная расстоянию и направленная в точку $O$, брошена из точки $P$ таким образом, что когда она достигает точки $Q$ имеет место равенство $O P=O Q$. Показать, что, наименьшая, достаточная для этого начальная скорость равна $O P[\mu \sin (P O Q)]^{\frac{1}{2}}$, где $\mu O P$ есть сила, действующая на единицу массы в точке $P$. (Camb. Math. Tripos, часть 1,1901 .)
23. Определить плоскую кривую такого рода, что две материальные точки под действием притягивающих сил с общим произвольно расположенным в плоскости центром, могут описывать одновременно кривую и ее подеру относительно центра сил. При этом обе движущиеся точки должны находиться в соответственных местах кривой и ее подеры. Для движения по подере определить также и вид силы. (Camb. Math. Tripos, часть 1, 1897.)
24. Пусть $f(x, y)$ однородная функция первого измерения. Чтобы кривая $f(x, y)=1$ описывалась точкой с ускорением, направленным в начало координат и зависящим только от расстояния, необходимо и достаточно, чтобы $f$ удовлетворяла условию:
\[
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+F(r)=0
\]

На основании этого показать, что все кривые такого рода можно представить уравнением:
\[
r(A+B \sin \vartheta+C \cos \vartheta)=1 .
\]

Разобрать также случай, когда $f(x, y)$ однородная функция $n$-го измерения.
25. Эллипс с центром в точке $C$ описывается точкой под действием центральной силы с центром в точке $O$ на большой оси эллипса. Показать, что имеет место равенство
\[
n t=u-e \sin u,
\]

где $\frac{2 \pi}{n}$ есть время обращения, $e$ – отношение $C O$ к большой полуоси, $u$ – эксцентрический угол, который приобретает точка за время $t$ и отсчитываемый от линии апсид.
26. Две свободные материальные точки $\mu$ и $M$ движутся в плоскости под действием центральной силы с центром в неподвижной точке $O$. Показать, что частное от деления скорости точки $\mu$ в произвольной точке $m$ ее траектории на скорость, которой обладает в точке $m$ центральная проекция точки $M$ на траекторию $\mu$, равно постоянному отношению площадей, ометаемых радиусами $O \mu$ и $O M$ в единицу времени, умноженному на квадрат отношения $O M$ к $O m$, представляющего определенную функцию $f$ от координат точки $m$. (Dainelli.)
27. Материальная точка движется свободно по параболе под действием притягивающей силы, направленной в фокус. Показать, что если на касательной в движущейся точке в каждый момент времени фиксировать точку в расстоянии $\frac{4 a \cos \frac{1}{2} \vartheta}{\vartheta+\sin \vartheta}$ от точки касания, то эта точка опишет центральную кривую с центром в фокусе, причем площадь, описываемая радиусом-вектором, изменяется по тому же закону, как и у параболы. Здесь $4 a$ – параметр, а $\vartheta$ – угол, образованный линией апсид с прямой, соединяющей материальную точку с вершиной. (Camb. Math. Tripos, часть 1,1896 .)
28. В точке наибольшего удаления от Солнца периодическая комета испытывает малое приращение скорости $\delta v$. Показать, что тогда наименьшее расстояние кометы от Солнца увеличивается на величину:
\[
4 \delta v \cdot\left\{\frac{a^{3}(1-e)}{\mu(1+e)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]
29. Пусть $P O P^{\prime}$ – хорда, проходящая через фокус эллипса, представляющего траекторию вокруг Солнца. Показать, что время движения от точки $P$ до точки $P^{\prime}$ через перигелий равно времени падения на Солнце с расстояния $2 a$ до расстояния $a(1+\cos \alpha)$, где $\alpha=2 \pi-\left(u^{\prime}-u\right)$, а $u^{\prime}-u$ – разность эксцентрических аномалий точек $P$ и $P^{\prime}$.
30. Материальная точка движется в плоскости под действием двух сил притяжения $\frac{\mu}{r^{3}{r^{\prime}}^{2}}$ и $\frac{\mu}{r^{2}{r^{\prime}}^{3}}$. Центры сил помещаются в двух неподвижных точках, расстояние между которыми $2 d$. Показать, что если точка имеет начальную скорость, равную скорости, которую она приобрела бы, двигаясь из положения покоя в бесконечности до своего исходного положения, то возможной траекторией будет окружность, относительно которой центры сил являются инверсиями друг друга. Если радиус окружности $a$, то время обращения будет:
\[
4 \pi a^{2} \mu^{\frac{-1}{2}}\left(a^{2}+d^{2}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]
31. Тяжелая точка брошена на внутреннюю часть поверхности гладкого шара. В момент прикосновения к шару она имеет горизонтальную скорость $v$ и угловое расстояние от вертикального диаметра, равное $\alpha$. Показать, что точка никогда не может опуститься ниже исходного круга широт, если
\[
v^{2}>a g \sin \alpha \operatorname{tg} \alpha
\]

и – подняться выше его, если
\[
v^{2}<a g \sin \alpha \operatorname{tg} \alpha .
\]
32. Материальная точка горизонтально брошена на внутреннюю поверхность гладкого шара радиуса $a$. В момент прикосновения скорость точки равна $V$, а угловая высота над наинизшей точкой шара равна $\alpha$. Показать, что высшее положение, которого может достичь точка на шаре, определяется угловой высотой $\beta$, причем $\beta$ – меньшее из значений $\psi$ и $\chi$, определяемых уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
(3 \cos \psi-2 \cos \alpha) a g+V^{2}=0, \\
(\cos \chi+\cos \alpha) V^{2}-2 a g \sin ^{2} \chi=0 .
\end{array}
\]
33. Движение сферического маятника происходит между горизонтальными плоскостями, находящимися на расстояниях $\frac{3}{5} a$ и $\frac{4}{5} a$ от точки подвеса. Показать, что конец маятника по истечении времени $t$ после прохождения наинизшей точки сферы будет находиться в горизонтальной плоскости, находящейся на расстоянии
\[
\frac{1}{5} a\left\{4-\operatorname{sn}^{2} t \sqrt{\frac{13 g}{14 a}}\right\} \quad\left(\bmod \sqrt{\frac{7}{65}}\right)
\]

под точкой подвеса, а горизонтальная координата, при начале координат в точке подвеса, определяется из уравнения:
\[
\ddot{x}=\frac{g x}{a}\left\{-\frac{12}{7}+\frac{3}{5} \operatorname{sn}^{2} t \sqrt{\frac{13 g}{14 a}}\right\},
\]

представляющего частный вид уравнения Ляме.
34. Сферический маятник совершает малые колебания. Показать, что проекция конца маятника на горизонтальную плоскость описывает эллипс, ось которого вращается в направлении движения с угловой скоростью
\[
\frac{3}{8} \vartheta_{1} \vartheta_{0} \sqrt{\frac{l}{g}},
\]

где $\vartheta_{0}$ и $\vartheta_{1}$ – углы наибольшего и наименьшего отклонений от вертикали, $l$ – длина маятника и $g$ – ускорение силы тяжести. (Resal.)
35. Материальная точка движется вынужденно по сферической поверхности; на нее действует сила притяжения, пропорциональная величине $r^{-2}\left(d^{2}-r^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$ с центром в точке $M$ на сфере. Здесь $d$ означает диаметр сферы, а $r$ – прямолинейное расстояние движущейся точки до точки $M$. Положение точки на сфере пусть определяется широтой $\vartheta$ и долготой $\varphi$, считая при этом $M$ за полюс. Показать, что из уравнений движения будет следовать дифференциальное уравнение:
\[
\frac{1}{\sin ^{4} \vartheta}\left(\frac{d \vartheta}{d \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta}=a \operatorname{ctg} \vartheta+b,
\]

где $a$ и $b$ – постоянные. Проинтегрировать это уравнение и показать, что траекторией служит коническое сечение на сфере.
36. Точка массы $m$ движется по внутренней стороне поверхности кругового конуса с углом при вершине $2 \alpha$. На точку действует сила $\frac{m \mu}{r^{3}}$, отталкивающая ее от оси. Момент количества движения точки относительно оси есть $m \sqrt{\mu} \operatorname{tg} \alpha$. Показать, что траектория есть ветвь гиперболы с эксцентриситетом $\cos ^{-1} \alpha$. (Camb. Math. Tripos, часть 1. 1897.)
37. Точка движется по конусу под действием центральной силы с центром в вершине. Показать, что траектория будет плоским коническим сечением только в том случае, если сила имеет вид:
\[
\frac{A}{r^{2}}-\frac{B}{r^{3}} .
\]
38. Точка единичной массы движется по внутренней стороне поверхности параболоида вращения с параметром $4 a$. На точку действует отталкивающая от оси сила $\mu r$, где $r$ – расстояние до оси. Показать, что точка описывает параболу, если начальная скорость ее перпендикулярна оси и равна $2 a \mu^{\frac{1}{2}}$.
39. Материальная точка движется по гладкой, винтовой поверхности $z=a \varphi$, под действием силы $\mu r$, отнесенной к единичной массе и направленной в каждой точке образующей внутрь. Здесь $r$ означает расстояние до оси $z$. В точке, где касательная плоскость образует угол $\alpha$ с плоскостью $x y$, движущаяся точка получает начальную скорость $\mu^{\frac{1}{2}} a$, перпендикулярную к образующей. Показать, что проекция траектории на плоскость $x y$ имеет уравнение:
\[
\frac{a^{2}}{r^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \operatorname{ch}^{2}(\varphi \cos \alpha)-1 .
\]
(Camb. Math. Tripos, часть 1, 1896.)
40. Показать, что задача движения по инерции материальной точки на линейчатой поверхности, образующие которой пересекают стрикционную линию под постоянным углом и для которой отношение длины общей нормали двух соседних образующих к величине угла между этими образующими постоянно, может быть решена в квадратурах. (Astor.)
41. Точка $(x, y, z)$ с потенциальной энергией $a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}$ движется вынужденно по шару $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Определить ее движение. (C.Neumann, Journal für Math., т. 56, стр. 46, 1859.)