Изучим теперь обратную задачу, подсказанную результатом предыдущего параграфа, а именно: определить все возможные системы дифференциальных уравнений, обладающие относительным интегральным инвариантом $\int \sum _{r=1}^n{p}_r\delta q_r$, где $q_1,q_2,\dots ,q_n$ означают одну половину, а $p_1,p_2,\dots ,p_n\stackrel{r=1}{\to }$ другую половину зависимых переменных.

Пусть предложена система дифференциальных уравнений $2n$-го порядка, в которой зависимые переменные могут быть разделены на два таких ряда $q_1,q_2,\dots ,q_n$ и $p_1,p_2,\dots ,p_n$, что величина
$$\int (p_1\delta q_1+p_2\delta q_2+\cdots +p_n\delta q_n)$$

есть относительный интегральный инвариант этой системы, а следовательно, по теореме Стокса величина
$$\iint (\delta p_1\delta q_1+\delta p_2\delta q_2+\cdots +\delta p_n\delta q_n)$$

есть ее абсолютный интегральный инвариант.
Пусть эта система имеет вид:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=Q_r,\frac{d{p}_r}{dt}=P_r(r=1,2,\dots ,n),$$

где $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$ означают известные функции переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n,t$. Так как область интегрирования для абсолютного интегрального инварианта имеет два измерения, то мы можем предполагать, что каждая точка этой области определяется двумя величинами $\lambda$ и $\mu$, которые не зависят от времени и характеризуют траекторию, выходящую из этой точки. Тогда абсолютный интегральный инвариант может быть представлен в виде:
$$\iint \left(\sum _{i=1}^n\frac{\partial (q_i,p_i)}{\partial (\lambda ,\mu )}\right)d\lambda d\mu$$

и так как $\lambda$ и $\mu$ не зависят от времени, то
$$\frac{d}{dt}\sum _{i=1}^n\frac{\partial (q_i,p_i)}{\partial (\lambda ,\mu )}=0$$

или
$$\sum _{i=1}^n\{\frac{\partial (Q_i,p_i)}{\partial (\lambda ,\mu )}+\frac{\partial (q_i,P_i)}{\partial (\lambda ,\mu )}\}=0$$

или
$$\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^n\{\frac{\partial Q_i}{\partial q_k}\frac{\partial (q_k,p_i)}{\partial (\lambda ,\mu )}+\frac{\partial Q_i}{\partial p_k}\frac{\partial (p_k,p_i)}{\partial (\lambda ,\mu )}+\frac{\partial P_i}{\partial q_k}\frac{\partial (q_i,q_k)}{\partial (\lambda ,\mu )}+\frac{\partial P_i}{\partial p_k}\frac{\partial (q_i,p_k)}{\partial (\lambda ,\mu )}\}=0.$$

Но вследствие произвольности выбора области интегрирования и величин $\lambda ,\mu$ все коэффициенты при величинах $\frac{\partial q_k}{\partial \lambda }\frac{\partial p_i}{\partial \mu },\frac{\partial q_i}{\partial \lambda }\frac{\partial q_k}{\partial \mu }$ и $\frac{\partial p_k}{\partial \lambda }\frac{\partial p_i}{\partial \mu }$ должны равняться нулю. Таким образом, имеем:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial Q_i}{\partial q_k}+\frac{\partial P_k}{\partial p_i}=0,\\ \frac{\partial P_i}{\partial q_k}-\frac{\partial P_k}{\partial q_i}=0,\\ \frac{\partial Q_i}{\partial p_k}-\frac{\partial Q_k}{\partial p_i}=0\end{array}\}(i,k=1,2,\dots ,n).$$

Эти уравнения показывают, что должна существовать некоторая функция
$$H(q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n,t)$$

такая, что
$$Q_r=\frac{\partial H}{\partial p_r},P_r=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n).$$

Таким образом, получаем следующий результат: Если система дифференциальных уравнений
$$\frac{d{q}_r}{dt}=Q_r,\frac{d{p}_r}{dt}=P_r(r=1,2,\dots ,n)$$

имеет относительный интегральный инвариант, то она необходимо имеет форму Гамильтона:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n)$$

Этот результат дает теорему, обратную доказанной в предыдущем параграфе.

ДоБАВЛЕНИЕ. Если
$$\int (p_1\delta q_1+p_2\delta q_2+\cdots +p_n\delta q_n)$$

есть относительный интегральный инвариант системы уравнений:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=Q_r,\frac{d{p}_r}{dt}=P_r(r=1,2,\dots ,k),$$

где $k>n$, то аналогичным образом можно показать, что уравнения для $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ образуют систему Гамильтона:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n),$$

где $H$ есть функция только величин $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n,t$, не зависящая от $q_{n+1},q_{n+2},\dots ,q_k,p_{n+1},p_{n+2},\dots ,p_k$.