Пусть
\[
\Phi(x, y)=c
\]

есть уравнение кривой. Если $c$ будет переменным параметром, то это уравнение представит семейство кривых. Предполагая, что сила зависит только от положения материальной точки, определим силовое поле, длл іоторого данос семсйство іривых будет прсдставлять семейство возможных траекторий. Обозначим скорость точки через $v$, а компоненты силы, отнесенной к единице массы, в направлении осей координат через $X$ и $Y$. Так как тангенсальная и нормальная составляющие ускорения соответственно равны $\frac{1}{2} \frac{d v^{2}}{d s}$ и $\frac{v^{2}}{\rho}$, то имеем:
\[
\begin{array}{l}
X=-\frac{v^{2}}{\rho} \Phi_{x}\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \frac{d v^{2}}{d s} \Phi_{y}\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}, \\
Y=-\frac{v^{2}}{\rho} \Phi_{y}\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} \frac{d v^{2}}{d s} \Phi_{x}\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} .
\end{array}
\]

Если вместо $\frac{1}{\rho}$ вставить его значение
\[
\frac{\Phi_{y}^{2} \Phi_{x x}-2 \Phi_{x} \Phi_{y} \Phi_{x y}+\Phi_{x}^{2} \Phi_{y y}}{\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}},
\]

то будем иметь:
\[
X=-\Phi_{x} v^{2} \frac{\Phi_{y}^{2} \Phi_{x x}-2 \Phi_{x} \Phi_{y} \Phi_{x y}+\Phi_{x}^{2} \Phi_{y y}}{\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{2}}-\frac{1}{2} \frac{d v^{2}}{d s} \Phi_{y}\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}
\]

Если ввести величину $u$, определяемую равенством
\[
v^{2}=-u\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)
\]

а $\frac{d}{d s}$ заменить через
\[
\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\Phi_{x} \frac{\partial}{\partial y}-\Phi_{y} \frac{\partial}{\partial x}\right)
\]

то уравнение перейдет в следующее:
\[
X=u\left(\Phi_{x} \Phi_{y y}-\Phi_{y} \Phi_{x y}\right)+\frac{1}{2} \Phi_{y} \frac{d u}{d s}\left(\Phi_{x}^{2}+\Phi_{y}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Величина $u$ здесь произвольна, так как она зависит от скорости, с которой точка движется по заданной траектории. Так как по предположению $X$ и $Y$ – функции положения движущейся точки, то можно принять, что $u$ есть произвольная функция от $x, y$. Поэтому будем иметь:
\[
X=u\left(\Phi_{x} \Phi_{y y}-\Phi_{y} \Phi_{x y}\right)+\frac{1}{2} \Phi_{y}\left(\Phi_{x} u_{y}-\Phi_{y} u_{x}\right)
\]

и соответственно:
\[
Y=u\left(\Phi_{y} \Phi_{x x}-\Phi_{x} \Phi_{x y}\right)+\frac{1}{2} \Phi_{x}\left(\Phi_{y} u_{x}-\Phi_{x} u_{y}\right),
\]

где $u$ – произвольная функция от $x, y$. Это выражение для силового поля, в котором заданное семейство кривых есть семейство возможных траекторий, впервые дал Даинелли (Dainelli) ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Giornale di Mat., T. 18, стр. 271. 1880.

ЗАдАчА 1. Показать, что материальная точка может описывать заданную кривую под действием произвольных сил $P_{1}, P_{2}, \ldots$, направленных в заданные неподвижные центры, если эти силы удовлетворяют уравнению:
\[
\sum_{k} \frac{1}{p_{k}^{2}} \frac{d}{d s}\left(\frac{P_{k} p_{k}^{3} \rho}{r_{k}}\right)=0,
\]

где $r_{k}$ есть радиус-вектор, проведенный из $k$-го центра, $p_{k}$ – перпендикуляр из центра на касательную к траектории и $\rho$ – радиус кривизны последней.

Тангенциальные и нормальные составляющие всех сил, действующих на точку, будут соответственно:
\[
T=-\sum_{k} P_{k} \frac{d r_{k}}{d s}, \quad N=\sum_{k} P_{k} \frac{p_{k}}{r_{k}} ;
\]

поэтому из уравнения
\[
2 T=\frac{d\left(v^{2}\right)}{d s}=\frac{d}{d s}(\rho N)
\]

следует:
\[
\sum_{k}\left\{2 P_{k} \frac{d r_{k}}{d s}+\frac{d}{d s}\left(P_{k} \frac{\rho p_{k}}{r_{k}}\right)\right\}=0
\]

или
\[
\sum_{k} \frac{1}{p_{k}^{2}} \frac{d}{d s}\left(\frac{P_{k} p_{k}^{3} \rho}{r_{k}}\right)=0 .
\]

ЗАДАчА 2. Материальная точка может двигаться по заданной наперед кривой под действием каждой из данных сил $\Phi_{1}, \Phi_{2}, \ldots$, действующих в известных (различных) направлениях. Чтобы та же кривая описывалась точкой под общим действием совокупности сил $F_{1}, F_{2}, \ldots$, направления которых совпадают с соответственными направлениями сил $\Phi_{1}, \Phi_{2}, \ldots$, должно выполняться условие:
\[
\sum_{k} c_{k} \Phi_{k} \frac{d}{d s}\left(\frac{F_{k}}{\Phi_{k}}\right)=0,
\]

где $c_{k}$ означает хорду круга кривизны кривой, взятую в направлении $\Phi_{k}$. (Curtis.)

ЗАдАчА 3. Точка движется в плоском силовом поле с потенциалом $V$. Показать, что если $V$ удовлетворяет уравнению:
\[
\begin{aligned}
0 & =f(V)\left\{\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}-2 \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y} \frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}\right\}+ \\
& +\left\{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}\right\}^{2},
\end{aligned}
\]

то кривая равного потенциала есть возможная траектория.