Если в данной группе преобразований можно выделить такую систему преобразований, что преобразование, обратное всякому преобразованию этой системы, есть одно из преобразований этой же системы и совокупность двух последовательных преобразований этой системы представляет преобразование, принадлежащее к ней же, то такую систему называют подгруппой данной группы.
Совокупность всех преобразований, удовлетворяющих условию
$$\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r=\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r$$

образует, очевидно, подгруппу общей группы контактных преобразований. Такие преобразования исследовал Матьё ${}^1$.

По существу они совпадают с преобразованиями, названными С. Ли «однородными контактными преобразованиями в $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ ».

Согласно $\mathrm{\S }126$ величины $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$ в рассматриваемом нами случае находятся путем исключения ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ из $2n+k$ уравнений:
$$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Omega }}_r(q_1,q_2,\dots ,q_n,Q_1,Q_2,\dots ,Q_n)=0& (r=1,2,\dots ,k),\\ P_r={\lambda }_1\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_1}{\partial Q_r}+{\lambda }_2\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_2}{\partial Q_r}+\cdots +{\lambda }_k\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_k}{\partial Q_r}& (r=1,2,\dots ,n),\\ p_r=-{\lambda }_1\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_1}{\partial q_r}-{\lambda }_2\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_2}{\partial q_r}-\cdots -{\lambda }_k\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_k}{\partial q_r}& (r=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Из вида этих уравнений вытекает, что если все величины $p_1,p_2,\dots$, $p_n$ умножаются на произвольный множитель, то на этот же множитель умножатся и все величины $P_1,P_2,\dots ,P_n$. Следовательно, $P_1,P_2,\dots ,P_n$ суть однородные функции (но не обязательно целые) первого порядка относительно $p_1,p_2,\dots ,p_n$.

Внутри группы преобразований Матьё можно, очевидно, выделить подгруппу таких преобразований, для которых $P_1,P_2,\dots ,P_n$ суть
${}^1$ Journal de Math., т. 19, cтp. 265. 1874.

функции не только однородные относительно $p_1,p_2,\dots ,p_n$, но и целые, т. е. линейные, относительно $p_1,p_2,\dots ,p_n$, так что для этой подгруппы имеем равенства вида:
$$P_r=\sum _{k=1}^n{p}_k{f}_{rk}(q_1,q_2,\dots ,q_n)(r=1,2,\dots ,n).$$

Вводя эти значения в уравнение
$$\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r-\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r=0$$

и приравнивая нулю коэффициенты при $p_k$, получим:
$$\sum _{r=1}^n{f}_{rk}(q_1,q_2,\dots ,q_n)d{Q}_r=d{q}_k(k=1,2,\dots ,n);$$

следовательно, $q_1,q_2,\dots ,q_n$ являются функциями одних лишь $Q_1$, $Q_2,\dots ,Q_n$ и
$$f_{rk}=\frac{\partial q_k}{\partial Q_r}(r,k=1,2,\dots ,n).$$

Таким образом, рассматриваемье преобразования могут быть получены путем установления произвольных соотношений между $q_1,q_2,\dots ,q_n$ и $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$ и последующего определения $P_1,P_2,\dots ,P_n$ из соотношений:
$$P_r=\sum _{k=1}^n{p}_k\frac{\partial q_k}{\partial Q_r}(r=1,2,\dots ,n).$$

Эти преобразования представляют собой расширенные точечные преобразования ( $\mathrm{\S }126$ ).
ЗАДАчА 1. Пусть
$$\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r=\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r$$

показать, что
$$\sum _{k=1}^n{p}_k\frac{\partial Q_r}{\partial p_k}=0,\sum _{k=1}^n{p}_k\frac{\partial P_r}{\partial p_k}=P_r.$$