Если в данной группе преобразований можно выделить такую систему преобразований, что преобразование, обратное всякому преобразованию этой системы, есть одно из преобразований этой же системы и совокупность двух последовательных преобразований этой системы представляет преобразование, принадлежащее к ней же, то такую систему называют подгруппой данной группы.
Совокупность всех преобразований, удовлетворяющих условию
\[
\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}=\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}
\]

образует, очевидно, подгруппу общей группы контактных преобразований. Такие преобразования исследовал Матьё ${ }^{1}$.

По существу они совпадают с преобразованиями, названными С. Ли «однородными контактными преобразованиями в $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ ».

Согласно $\S 126$ величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ в рассматриваемом нами случае находятся путем исключения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ из $2 n+k$ уравнений:
\[
\begin{array}{cc}
\Omega_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}\right)=0 & (r=1,2, \ldots, k), \\
P_{r}=\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial Q_{r}}+\lambda_{2} \frac{\partial \Omega_{2}}{\partial Q_{r}}+\cdots+\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial Q_{r}} & (r=1,2, \ldots, n), \\
p_{r}=-\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial q_{r}}-\lambda_{2} \frac{\partial \Omega_{2}}{\partial q_{r}}-\cdots-\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial q_{r}} & (r=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Из вида этих уравнений вытекает, что если все величины $p_{1}, p_{2}, \ldots$, $p_{n}$ умножаются на произвольный множитель, то на этот же множитель умножатся и все величины $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$. Следовательно, $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ суть однородные функции (но не обязательно целые) первого порядка относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$.

Внутри группы преобразований Матьё можно, очевидно, выделить подгруппу таких преобразований, для которых $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ суть
${ }^{1}$ Journal de Math., т. 19, cтp. 265. 1874.

функции не только однородные относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, но и целые, т. е. линейные, относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, так что для этой подгруппы имеем равенства вида:
\[
P_{r}=\sum_{k=1}^{n} p_{k} f_{r k}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Вводя эти значения в уравнение
\[
\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}-\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}=0
\]

и приравнивая нулю коэффициенты при $p_{k}$, получим:
\[
\sum_{r=1}^{n} f_{r k}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right) d Q_{r}=d q_{k} \quad(k=1,2, \ldots, n) ;
\]

следовательно, $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ являются функциями одних лишь $Q_{1}$, $Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ и
\[
f_{r k}=\frac{\partial q_{k}}{\partial Q_{r}} \quad(r, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, рассматриваемье преобразования могут быть получены путем установления произвольных соотношений между $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ и последующего определения $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ из соотношений:
\[
P_{r}=\sum_{k=1}^{n} p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти преобразования представляют собой расширенные точечные преобразования ( $\S 126$ ).
ЗАДАчА 1. Пусть
\[
\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}=\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}
\]

показать, что
\[
\sum_{k=1}^{n} p_{k} \frac{\partial Q_{r}}{\partial p_{k}}=0, \quad \sum_{k=1}^{n} p_{k} \frac{\partial P_{r}}{\partial p_{k}}=P_{r} .
\]