1. Пусть решена задача движения точки на поверхности с линейным элементом
\[
d S^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2}
\]
под действием сил, имеющих потенциал $V(u, v)$. Показать, что тогда можно решить задачу движения материальной точки на поверхности с линейным элементом
\[
d s^{2}=V(u, v)\left(E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2}\right)
\]
под действием сил с потенциальной энергией $\frac{1}{V(u, v)}$. (Darboux.)
${ }^{1}$ Thomson and Tait, Natural Phylosophy, $\S 317$.
${ }^{2}$ Theory of Sound, т. 1, стр. 100.
2. Пусть для двух систем, имеющих кинетические энергии $\sum a_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}$ и $\sum b_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}$ и соответствующие потенциальные энергии $U$ и $V$, траектории совпадают, но описываются системами с различными скоростями. Соотношения между координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ будут, следовательно, для обоих движений одинаковы. Доказать равенства:
\[
\begin{array}{c}
V=\frac{\alpha U+\beta}{\gamma U+\delta} \\
\sum b_{i k} d q_{i} d q_{k}=(\gamma U+\delta) \sum a_{i k} d q_{i} d q_{k}
\end{array}
\]
где $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ постоянные. (Painleve.)
3. Материальная точка движется в плоскости под действием сил с потенциальной энергией $V(x, y)$. Пусть все траектории, для которых постоянная энергия равна $h$, подчинены преобразованию:
\[
x=\varphi(X, Y), \quad y=\psi(X, Y),
\]
где $\varphi$ и $\psi$ – сопряженные функции координат $x$ и $y$. Доказать, что получающиеся при этом новые кривые представляют траектории точки, движущиеся под действием сил с потенциальной энергией:
\[
[V\{\varphi(X, Y), \psi(X, Y)\}-h]\left\{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial X}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial Y}\right)^{2}\right\},
\]
и что постоянная энергия этого движения есть нуль. (Goursat.)
4. Пусть $T$ и $V$ означают кинетическую и потенциальную энергии динамической системы. Доказать, что два выражения:
\[
\begin{array}{c}
2 \frac{d^{2} V}{d t^{2}}+\sum m\left(\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}+\ddot{z}^{2}\right), \\
\sum \frac{1}{m}\left\{\left(m \ddot{x}+\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(m \ddot{y}+\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(m \ddot{z}+\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right\}
\end{array}
\]
отличаются на величину, не зависящую от ускорений, и что, следовательно, выражение
\[
\frac{d^{2} T}{d t^{2}}-\frac{1}{2} \sum m\left(\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}+\ddot{z}^{2}\right)
\]
есть максимум, если ускорения принимают значения, соответствующие действительному движению, по сравнению со всеми совместимыми со связями движениями, которые имеют тот же интеграл энергии и равные для одинаковых моментов времени координаты и скорости. (Forster.)
