Два произвольных следующих друг за другом вращения вокруг неподвижной точки могут быть заменены одним вращением на основании следующей теоремы:

Три последовательных вращения вокруг трех неподвижных осей, проходящих через одну точку на углы, равные соответственно удвоенным углам между образованными этими прямыми плоскостями, возвращают тело в первоначальное положение.

Обозначим оси вращения через $O P, O Q$ и $O R$. Восставим в точке $O$ к плоскостям $Q O R, R O P, P O Q$ перпендикуляры $O p, O q, O r$.

Если тело поворачивается на $180^{\circ}$ вокруг $O q$ и на $180^{\circ}$ вокруг $O r$, то $O P$ возвращается в первоначальное положение, а $O q$ переходит в свое зеркальное отображение относительно прямой $O r$. Если $R P Q$ означает угол между плоскостями $P R$ и $P Q$, то в результате получается поворот вокруг $O P$ на угол, равный $2 \widehat{R P Q}$. Отсюда следует, что три последовательных вращения вокруг осей $O P, O Q, O R$ на углы, равные соответственно $2 \widehat{R P Q}, 2 \widehat{P Q R}, 2 \widehat{Q R P}$, равносильны последовательным вращениям на $180^{\circ}$ вокруг прямых $O q, O r, O r, O p, O p, O q$. Но совокупность этих последних вращений не изменяет положения тела. Таким образом, теорема доказана.