Особый класс динамических систем, разрешаемых в квадратурах, образуют системы, для которых кинетическая и потенциальные энергии имеют частный вид:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} v_{1}\left(q_{1}\right) \dot{q}_{1}^{2}+\frac{1}{2} v_{2}\left(q_{2}\right) \dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\frac{1}{2} v_{n}\left(q_{n}\right) \dot{q}_{n}^{2}, \\
V & =\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\omega_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+\omega_{n}\left(q_{n}\right),
\end{aligned}
\]

где $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}, w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}$ – произвольные функции их аргументов. Тогда кинетический потенциал распадается на сумму членов, из которых каждый зависит только от одной переменной и ее производной.
В этом случае уравнениями Лагранжа будут:
\[
\frac{d}{d t}\left\{v_{r}\left(q_{r}\right) \dot{q}_{r}\right\}-\frac{1}{2} v_{r}^{\prime}\left(q_{r}\right) \dot{q}_{r}^{2}=-\omega_{r}^{\prime}\left(q_{r}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

или
\[
v_{r}\left(q_{r}\right) \ddot{q}_{r}+\frac{1}{2} v_{r}^{\prime}\left(q_{r}\right) \dot{q}_{r}^{2}=-\omega_{r}^{\prime}\left(q_{r}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы и дают:
\[
\frac{1}{2} v_{r}\left(q_{r}\right) \dot{q}_{r}^{2}+\omega_{r}\left(q_{r}\right)=c_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ – постоянные интегрирования. Полученные уравнения могут быть снова проинтегрированы, так как переменные $q_{r}$ и $t$ разделены. Таким образом, мы получим:
\[
t=\int\left\{\frac{v_{r}\left(q_{r}\right)}{2 c_{r}-2 \omega_{r}\left(q_{r}\right)}\right\}^{\frac{1}{2}} d q_{r}+\gamma_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{n}$ – постоянные интегрирования. Последние уравнения представляют решение задачи.

Значительное расширение этого класса динамических задач дано Лиувиллем ${ }^{1}$. Он показал, что все динамические задачи, для которых кинетическая и потенциальная энергии могут быть представлены в виде:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left\{u_{1}\left(q_{1}\right)+u_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+u_{n}\left(q_{n}\right)\right\}\left\{v_{1}\left(q_{1}\right) \dot{q}_{1}^{2}+v_{2}\left(q_{2}\right) \dot{q}_{2}^{2}+\right. \\
& \left.\quad+\cdots+v_{n}\left(q_{n}\right) \dot{q}_{n}^{2}\right\} \\
V= & \frac{\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\omega_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+\omega_{n}\left(q_{n}\right)}{u_{1}\left(q_{1}\right)+u_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+u_{n}\left(q_{n}\right)}
\end{aligned}
\]

всегда решаются в квадратурах.
В самом деле, заменяя переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ переменными $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$, где
\[
q_{r}^{\prime}=\int \sqrt{v_{r}\left(q_{r}\right)} d q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

и опуская штрихи при переменных, мы приведем кинетическую и потенциальную энергии к виду:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} u\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \\
V & =\frac{1}{u}\left\{\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\omega_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+\omega_{n}\left(q_{n}\right)\right\},
\end{aligned}
\]

где
\[
u=u_{1}\left(q_{1}\right)+u_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+u_{n}\left(q_{n}\right) .
\]
${ }^{1}$ Journal de Math., т. 14, стр. 257, 1849.

Уравнение Лагранжа для координаты $q_{1}$
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{1}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{1}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{1}}
\]

дает:
\[
\frac{d}{d t}\left(u \dot{q}_{1}\right)-\frac{1}{2} \frac{\partial u}{\partial q_{1}}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q_{1}} .
\]

После умножения на $2 u \dot{q}_{1}$ это уравнение дает:
\[
\frac{d}{d t}\left(u^{2} \dot{q}_{1}^{2}\right)-u \dot{q}_{1} \frac{\partial u}{\partial q_{1}}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right)=-2 u \dot{q}_{1} \frac{\partial V}{\partial q_{1}} .
\]

Но из интеграла энергии вытекает, что
\[
\frac{1}{2} u\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right)=h-V,
\]

где $h$ – постоянная. Поэтому уравнение для координаты $q_{1}$ может быть переписано так:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(u^{2} \dot{q}_{1}^{2}\right) & =2(h-V) \dot{q}_{1} \frac{\partial u}{\partial q_{1}}-2 u \dot{q}_{1} \frac{\partial V}{\partial q_{1}}=2 \dot{q}_{1} \frac{\partial}{\partial q_{1}}\{(h-V) u\}= \\
& =2 \dot{q}_{1} \frac{\partial}{\partial q_{1}}\left\{h u_{1}\left(q_{1}\right)-\omega_{1}\left(q_{1}\right)\right\}=2 \frac{d}{d t}\left\{h u_{1}\left(q_{1}\right)-\omega_{1}\left(q_{1}\right)\right\}
\end{aligned}
\]

Интегрируя, получим:
\[
\frac{1}{2} u^{2} \dot{q}_{1}^{2}=h u_{1}\left(q_{1}\right)-\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\gamma_{1}
\]

где $\gamma$ – постоянная интегрирования. Аналогичные уравнения мы получим для всех координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Соответствующие постоянные $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{n}$ должны, на основании интеграла энергии, удовлетворять условию
\[
\gamma_{1}+\gamma_{2}+\cdots+\gamma_{n}=0 .
\]

Полученные уравнения дают:
\[
\begin{array}{c}
\left\{h u_{1}\left(q_{1}\right)-\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\gamma_{1}\right\}^{-\frac{1}{2}} d q_{1}=\left\{h u_{2}\left(q_{2}\right)-\omega_{2}\left(q_{2}\right)+\gamma_{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} d q_{2}= \\
=\ldots=\left\{h u_{n}\left(q_{n}\right)-\omega_{n}\left(q_{n}\right)+\gamma_{n}\right\}^{-\frac{1}{2}} d q_{n} .
\end{array}
\]

Эта система уравнений, которая разделением переменных может быть непосредственно проинтегрирована, и дает решение задачи.

Относительно дальнейших исследований по этому вопросу сошлемся на Hadamard, Bull. des Sc. Math., т. 35, стр. 106, 1911 и Burgatti, Rom. Acc. L. Rend. (5). т. 20, стр. 108, 1911.