В качестве дальнейшего примера рассмотрим движение двух свободных точек с массами $m_1$ и $m_2$, движущихся под действием сил взаимного притяжения или отталкивания, направленных по линии, соединяющей обе точки, и зависящих только от расстояния между точками.

Система имеет шесть степеней свободы, так как прямоугольные координаты каждой точки могут принимать какие угодно значения. В качестве шести координат системы примем координаты $X,Y,Z$ центра тяжести обеих точек, отнесенные к неподвижной системе осей, и координаты $x,y,z$ точки $m_2$ относительно подвижных осей, имеющих начало в точке $m_1$, и направленных параллельно неподвижным осям.

Координаты точек $m_1$ и $m_2$ относительно неподвижных осей соответственно равны:
$$\begin{array}{ccc}X-\frac{m_{2}x}{m_1+m_2},& Y-\frac{m_{2}y}{m_1+m_2},& Z-\frac{m_{2}z}{m_1+m_2},\\ X+\frac{m_{1}x}{m_1+m_2},& Y+\frac{m_{1}y}{m_1+m_2},& Z+\frac{m_{1}z}{m_1+m_2}.\end{array}$$

Отсюда для кинетической энергии системы получаем:
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1}{2}{m}_1{(\dot{X}-\frac{m_2\dot{x}}{m_1+m_2})}^2+\frac{1}{2}{m}_1{(\dot{Y}-\frac{m_2\dot{y}}{m_1+m_2})}^2+\\ & +\frac{1}{2}{m}_1{(\dot{Z}-\frac{m_2\dot{z}}{m_1+m_2})}^2+\frac{1}{2}{m}_2{(\dot{X}+\frac{m_1\dot{x}}{m_1+m_2})}^2+\\ & +\frac{1}{2}{m}_2{(\dot{Y}+\frac{m_1\dot{y}}{m_1+m_2})}^2+\frac{1}{2}{m}_2{(\dot{Z}+\frac{m_1\dot{z}}{m_1+m_2})}^2\end{array}$$

или
$$T=\frac{1}{2}(m_1+m_2)({\dot{X}}^2+{\dot{Y}}^2+{\dot{Z}}^2)+\frac{1}{2}\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2).$$

Так как потенциальная энергия системы зависит только от расстояния между точками, то она может быть выражена как функция от $x,y,z$. Обозначим ее через $V(x,y,z)$.
Уравнениями Лагранжа для движения системы будут:
$$\begin{array}{c}\ddot{X}=0,\ddot{Y}=0,\ddot{Z}=0,\\ \frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}\ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x},\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}\ddot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y},\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}\ddot{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}.\end{array}$$

Первые три уравнения показывают, что центр тяжести движется прямолинейно и равномерно. Из последних трех уравнений вытекает, что точка $m_2$ движется относительно точки $m_1$ так, как если бы точка $m_1$ была неподвижна и притягивала точку $m_2$ с силой, для которой потенциальная энергия равна $\frac{m_1+m_2}{m_1}V.{}^1$
ЗАДАчА 1. Если две свободные точки движутся под действием сил взаимного притяжения, то касательные к их траекториям пересекают любую неподвижную плоскость в двух точках, обладающих тем свойством, что прямая, их соединяющая, все время проходит через неподвижную точку.