1. В задаче с двумя притягивающими центрами расстояние между центрами равно $2 c$, а большие полуоси обоих софокусных относительно центров конических сечений, проходящих через движущуюся точку, равны $q_{1}$ и $q_{2}$. Положив
\[
p_{1}=\frac{q_{1}^{2}-q_{2}}{q_{1}^{2}-c^{2}} \frac{d q_{1}}{d t}, \quad p_{2}=\frac{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}}{c^{2}-q_{2}^{2}} \frac{d q_{2}}{d t},
\]
показать, что уравнения движения имеют вид:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]
где
\[
H=\frac{1}{2} \frac{q_{1}^{2}-c^{2}}{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}} p_{1}^{2}+\frac{1}{2} \frac{c^{2}-q_{2}^{2}}{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}} p_{2}^{2}-\frac{\mu_{1}}{q_{1}-q_{2}}-\frac{\mu_{2}}{q_{1}+q_{2}},
\]
а $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ – постоянные.
2. Показать, что
\[
\iiint \int \sum \delta q_{i} \delta p_{i} \delta q_{j} \delta p_{j}
\]
(где суммирование распространено на $\frac{1}{2} n(n-1)$ сочетаний индексов $i$ и $j$ ) есть интегральный инвариант для всякой системы Гамильтона с переменными $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. (Poincare.)
3. Показать, что уравнения
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]
где
\[
H=q_{1} p_{1}-q_{2} p_{2}-a q_{1}^{2}+b q_{2}^{2},
\]
допускают интеграл:
\[
\frac{p_{2}-b q_{2}}{q_{1}}=\mathrm{const}
\]
и что два остальных интеграла согласно $§ 127$ имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
q_{1} q_{2}=\text { const, } \\
\ln q_{1}=t+\text { const. }
\end{array}
\]
4. Пусть $M$ есть последний множитель для системы:
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}}=\cdots=\frac{d x_{n}}{X_{n}}=\frac{d x}{X},
\]
для которой известен интеграл:
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x\right)=\text { const. }
\]
Пусть штрих, поставленный над какой-нибудь функцией от $x_{1}, x_{2}, \ldots$, $x_{n}, x$, означает, что переменная $x_{n}$ заменена в ней ее выражением через $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}, x$, определяемым интегралом. Показать, что величина $\frac{M^{\prime}}{\frac{\partial f}{\partial x^{\prime}}}$ есть последний множитель для приведенной системы:
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}^{\prime}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}^{\prime}}=\cdots=\frac{d x_{n-1}}{X_{n-1}^{\prime}}=\frac{d x}{X^{\prime}} .
\]
(Jacobi.)
5. Пусть $\vartheta_{1}=$ const, $\vartheta_{2}=$ const, $\ldots, \vartheta_{n}=$ const есть система интегралов уравнений:
\[
\frac{d x}{X}=\frac{d x_{1}}{X_{1}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}}=\cdots=\frac{d x_{n}}{X_{n}} .
\]
Показать, что
\[
\frac{1}{X} \frac{\partial\left(\vartheta_{1}, \vartheta_{2}, \ldots, \vartheta_{n}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)}
\]
есть последний множитель.
6. Пусть $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}$ суть $n$ зависимых переменных, а $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{k}$ линейных дифференциальных выражений, определяемых равенствами:
\[
I_{r}=\sum_{k=1}^{n}\left\{p_{r k}(t) u_{k}+q_{r k}(t) \dot{u}_{k}+r_{r k}(t) \ddot{u}_{k}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, n) \text {. }
\]
Если $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ означают такие функции от $t$, что выражение
\[
v_{1} I_{1}+v_{2} I_{2}+\cdots+v_{n} I_{n}
\]
есть полный дифференциал, то показать, что в таком случае функции $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ будут удовлетворять некоторой системе $n$ линейных дифференциальных уравнений, называемой сопряженной по отношению к системе линейных уравнений:
\[
I_{r}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]
Если, далее, $F_{T}$ означает величину
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]
где $L$ есть некоторая данная функция от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$, то показать, что система линейных дифференциальных уравнений
\[
\sum_{k}\left(\frac{\partial F_{r}}{\partial q_{k}} u_{k}+\frac{\partial F_{r}}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{u}_{k}+\frac{\partial F_{r}}{\partial \ddot{q}_{k}} \ddot{u}_{k}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]
сопряжена самой себе.
Показать, что обратное предложение также справедливо. (Hirsch.)
