Допустим, что перемен-

${ }^{1}$ Знаменитый мемуар Пфаффа об этих выражениях был представлен берлинской академии в 1815 г. (Abhandl. d. Akad. d. Wiss., стр. 76, 1814-1815).

ные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ связаны контактным преобразованием с переменными $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, так что разность величин $\sum_{r=1}^{n} P_{r} \delta Q_{r}$ и $\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}$ есть полный дифференциал.

Согласно предыдущему параграфу билинейный ковариант дифференциальной формы не изменяется, если к этой форме добавляется полный дифференциал. В самом деле, билинейный ковариант зависит только от величины $\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}$, обращающихся для полного дифференциала в нуль. Далее, мы видели, что билинейный ковариант какой-нибудь формы при любом преобразовании переходит в билинейный ковариант преобразованной формы. Отсюда следует, что билинейные коварианты форм $\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}$ и $\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}$ равны между собой, т. е. что
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\delta P_{r} d Q_{r}-d P_{r} \delta Q_{r}\right)=\sum_{r=1}^{n}\left(\delta p_{r} d q_{r}-d p_{r} \delta q_{r}\right) .
\]

Если переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ переходят в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ при помощи контактного преобразования, то величина
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\delta p_{r} d q_{r}-d p_{r} \delta q_{r}\right)
\]

остается инвариантной относительно этого преобразования.
ПРимЕР 1. Для преобразования, определяемого равенствами:
\[
Q=(2 q)^{\frac{1}{2}} k^{-\frac{1}{2}} \cos p, \quad P=(2 q)^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} \sin p .
\]

имеем:
\[
\begin{array}{c}
d P-(2 q)^{-\frac{1}{2}} k^{-\frac{1}{2}} \sin p d q+(2 q)^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} \cos p d p, \\
\delta Q=(2 q)^{-\frac{1}{2}} k^{-\frac{1}{2}} \cos p \delta q-(2 q)^{\frac{1}{2}} k^{-\frac{1}{2}} \sin p \delta p, \\
\delta P=(2 q)^{-\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} \sin p \delta q+(2 q)^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} \cos p \delta p, \\
d Q=(2 q)^{-\frac{1}{2}} k^{-\frac{1}{2}} \cos p d q-(2 q)^{\frac{1}{2}} k^{-\frac{1}{2}} \sin p d p, \\
d P \delta Q-\delta P d Q=-\sin ^{2} p(d q \delta p-\delta q d p)+ \\
\quad+\cos ^{2} p(d p \delta q-\delta p d q)=d p \delta q-\delta p d q,
\end{array}
\]

следовательно, преобразование является контактным.