Для интеграции уравнений движения некоторой колеблющейся системы напишем ее кинетическую
${ }^{1}$ Теория колебаний развилась из исследований Галилея о малых колебаниях маятника. В первой половине XVIII в. Б. Тейлор (Brook Taylor), Даламбер, Эйлер и Д. Бернулли исследовали колебания натянутой струны. Последний высказал в 1753 г. принцип разложения сложных колебаний на независимые простые колебания. Общая теория колебаний систем с конечным числом степеней свободы дана в 1762-1765 гг. Лагранжем (Oeuvres, т. 1, стр. 520).

и потенциальную энергии в форме:
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2}\left(a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\cdots+a_{n n} \dot{q}_{n}^{2}+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+2 a_{13} \dot{q}_{1} \dot{q}_{3}+\cdots\right. \\
\left.\cdots+2 a_{n-1, n} \dot{q}_{n-1} \dot{q}_{n}\right), \\
V=\frac{1}{2}\left(b_{11} q_{1}^{2}+b_{22} q_{2}^{2}+\cdots+b_{n n} q_{n}^{2}+2 b_{12} q_{1} q_{2}+2 b_{13} q_{1} q_{3}+\cdots\right. \\
\left.\cdots+2 b_{n-1, n} q_{n-1} q_{n}\right) .
\end{array}
\]

Согласно $\S 26 T$ есть определенная положительная квадратичная форма и определитель из коэффициентов $a_{r s}$ отличен от нуля. (В противною случае $T$ содержало бы меньше чем $n$ независимых переменных.) Уравнения движения имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

При переходе к новым координатам $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$, являющимся линейными комбинациями величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, уравнения движения переходят в уравнения:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}^{\prime}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

являющиеся, очевидно, линейными комбинациями первоначальных уравнений.

Умножим первоначальные уравнения последовательно на некоторые неопределенные постоянные $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}{ }^{1}$ и сложим их. Полученное в результате уравнение будет вида:
\[
\frac{d^{2} Q}{d t^{2}}+\lambda Q=0
\]

где
\[
Q=h_{1} q_{1}+h_{2} q_{2}+\cdots+h_{n} q_{n},
\]

если постоянные $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}, h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{n}, \lambda$ удовлетворяют уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
b_{11} m_{1}+b_{12} m_{2}+\cdots+b_{1 n} m_{n}-\lambda\left(a_{11} m_{1}+a_{12} m_{2}+\cdots+a_{1 n} m_{n}\right)-\lambda h_{1}, \\
b_{21} m_{1}+b_{22} m_{2}+\cdots+b_{2 n} m_{n}=\lambda\left(a_{21} m_{1}+a_{22} m_{2}+\cdots+a_{2 n} m_{n}\right)=\lambda h_{2} \text {, } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
b_{n 1} m_{1}+b_{n 2} m_{2}+\cdots+b_{n n} m_{n}=\lambda\left(a_{n 1} m_{1}+a_{n 2} m_{2}+\cdots+a_{n n} m_{n}\right)=\lambda h_{n} . \\
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Излагаемый здесь метод принадлежит Жордану (Comptes Rendus, т. 74 стр. 1395,1872$)$.

Эти уравнения могут выполняться одновременно только тогда, когда $\lambda$ есть корень детерминантного уравнения:
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} \lambda-b_{11} & a_{12} \lambda-b_{12} & \ldots & a_{1 n} \lambda-b_{1 n} \\
a_{21} \lambda-b_{21} & a_{22} \lambda-b_{22} & \ldots & a_{2 n} \lambda-b_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n 1} \lambda-b_{n 1} & a_{n 2} \lambda-b_{n 2} & \ldots & a_{n n} \lambda-b_{n n}
\end{array}\right|=0 .
\]

Если $\lambda=\lambda_{1}$ есть один из корней этого уравнения, то из предыдущих уравнений можно определить одну возможную систему значений $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}, h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{n}$. Эти значения могут в некоторых случаях быть неопределенными, но во всяком случае этим способом может быть всегда определена по крайней мере одна функция $Q$, которая удовлетворяет уравнению:
\[
\frac{d^{2} Q}{d t^{2}}+\lambda_{1} Q=0 .
\]

Сделаем теперь линейное преобразование, при котором определенная таким образом величина $Q$ будет одной из новых координат. Не создавая никакой путаницы, мы будем новые переменные обозначать также через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Пусть $q_{1}$ идентично с $Q$, так что предыдущие уравнения удовлетворяются при $h_{1}=1, h_{2}=h_{3}=\ldots=h_{n}=0$. Так как $T$ есть определенная положительная форма, то ни один из коэффициентов $a_{22}, a_{33}, \ldots, a_{n n}$ при квадратах величин $\dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}, \ldots, \dot{q}_{n}$ не равен нулю. Мы можем поэтому вместо $q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}$ опять ввести новые переменные:
\[
q_{2}+\frac{a_{12}}{a_{22}} q_{1}, \quad q_{3}+\frac{a_{13}}{a_{33}} q_{1}, \ldots, q_{n}+\frac{a_{1 n}}{a_{n n}} q_{1} .
\]

После такого преобразования $T$ станет свободным от членов $\dot{q}_{1} \dot{q}_{2}$, $\dot{q}_{1} \dot{q}_{3}, \ldots, \dot{q}_{1} \dot{q}_{n} ;$ мы можем поэтому принять, что $a_{21}=a_{31}=\ldots=a_{n 1}=0$.

Комбинируя условия $h_{1}=1, h_{2}=h_{3}=\ldots=h_{n}=0, a_{21}=$ $=a_{31}=\ldots=a_{n 1}=0$ с уравнениями, определяющими $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$, $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{n}, \lambda$, мы получим:
\[
\begin{array}{l}
m_{1}=\frac{1}{a_{11}}, \quad m_{2}=0, \quad m_{3}=0, \ldots, m_{n}=0, \\
b_{11}=\lambda_{1} a_{11}, \quad b_{21}=0, \quad b_{31}=0, \quad \ldots \quad b_{n 1}=0 . \\
\end{array}
\]

Следовательно, уравнение
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{1}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q_{1}}
\]

принимает вид:
\[
\frac{d^{2} q_{1}}{d t^{2}}+\lambda_{1} q_{1}=0,
\]

а уравнения
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}} \quad(r=2,3, \ldots, n)
\]

переходят в
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T^{\prime}}{\partial \dot{q}_{r}}\right)=-\frac{\partial V^{\prime}}{\partial q_{r}} \quad(r=2,3, \ldots, n),
\]

где
\[
T^{\prime}=T-\frac{1}{2} a_{11} \dot{q}_{1}^{2}, \quad V^{\prime}=V-\frac{1}{2} \lambda_{1} a_{11} q_{1}^{2},
\]

так, что $T^{\prime}$ и $V^{\prime}$ не содержат соответственно величин $\dot{q}_{1}$ и $q_{1}$.
Последняя система уравнений может быть рассматриваема как относящаяся к задаче колебаний некоторой системы с $n-1$ степенями свободы. Поступая с последней системой так же, как и с предыдущей, мы освободимся еще от одной координаты, например $q_{2}$, так что, полагая
\[
T^{\prime \prime}=T^{\prime}-\frac{1}{2} a_{22} \dot{q}_{2}^{2}, \quad V^{\prime \prime}=V^{\prime}-\frac{1}{2} \lambda_{2} a_{22} q_{2}^{2}
\]
(где $\lambda_{1}$ и $a_{22}$ – некоторые определенные постоянные), мы получим, что $T^{\prime \prime}$ и $V^{\prime \prime}$ не содержат соответственно величин $\dot{q}_{2}$ и $q_{2}$. Координаты $q_{3}, q_{4}, \ldots, q_{n}$ определятся из уравнений колебаний некоторой системы с $n-2$ степенями свободы, для которой кинетическая и потенциальная энергии равны соответственно $T^{\prime \prime}$ и $V^{\prime \prime}$.

Продолжая этот процесс дальше, мы придем в конце концов к такому выбору координат, при котором кинетическая и потенциальная энергии первоначальной системы, выраженные в новых координатах, примут вид:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\alpha_{11} \dot{q}_{1}^{2}+\alpha_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\alpha_{n n} \dot{q}_{n}^{2}\right), \quad V=\frac{1}{2}\left(\beta_{11} q_{1}^{2}+\beta_{22} q_{2}^{2}+\cdots+\beta_{n n} q_{n}^{2}\right),
\]

где $\alpha_{11}, \alpha_{22}, \ldots, \alpha_{n n} \beta_{11}, \beta_{22}, \ldots, \beta_{n n}$ – некоторые постоянные.
Вводя, наконец, в качестве координат величины $\sqrt{\alpha_{11}} q_{1}$, $\sqrt{\alpha_{22}} q_{2}, \ldots, \sqrt{\alpha_{n n}} q_{n}$ вместо величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, мы получим для кинетической и потенциальной энергий выражения:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \quad V=\frac{1}{2}\left(\mu_{1} q_{1}^{2}+\mu_{2} q_{2}^{2}+\cdots+\mu_{n} q_{n}^{2}\right),
\]

где
\[
\mu_{r}=\frac{\beta_{r r}}{\alpha_{r r}} .
\]

При этом приведении не имеет значения, будет ли детерминантное уравнение иметь только различные корни или оно будет иметь группы кратных корней. Окончательный результат может быть поэтому выражен следующим образом: если кинетическая и потенциальная энергии заданы в форме:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2}\left(a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\cdots+a_{n n} \dot{q}_{n}^{2}+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\cdots+2 a_{n-1, n} \dot{q}_{n-1} \dot{q}_{n}\right), \\
V=\frac{1}{2}\left(b_{11} q_{1}^{2}+b_{22} q_{2}^{2}+\cdots+b_{n n} q_{n}^{2}+2 b_{12} q_{1} q_{2}+\cdots+2 b_{n-1, n} q_{n-1} q_{n}\right),
\end{array}
\]

то всегда можно найти такое линейное преобразование координат, при котором кинетическая и потенциальная энергии, выраженные в новых координатах, примут вид:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \\
V & =\frac{1}{2}\left(\mu_{1} q_{1}^{2}+\mu_{2} q_{2}^{2}+\cdots+\mu_{n} q_{n}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где величины $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ – постоянны. Эти новые координаты называются нормальными или главными координатами колеблющейся системы.

Согласно известной теореме алгебры корни детерминантного уравнения
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} \lambda-b_{11} & a_{12} \lambda-b_{12} & \ldots & a_{1 n} \lambda-b_{1 n} \\
a_{21} \lambda-b_{21} & a_{22} \lambda-b_{22} & \ldots & a_{2 n} \lambda-b_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n 1} \lambda-b_{n 1} & a_{n 2} \lambda-b_{n 2} & \ldots & a_{n n} \lambda-b_{n n}
\end{array}\right|=0 .
\]

суть также значения величины $\lambda$, при которых выражение
\[
\begin{array}{c}
\left(a_{11} \lambda-b_{11}\right) q_{1}^{2}+\left(a_{22} \lambda-b_{22}\right) q_{2}^{2}+\cdots+\left(a_{n n} \lambda-b_{n n}\right) q_{n}^{2}+ \\
+2\left(a_{12} \lambda-b_{12}\right) q_{1} q_{2}+\cdots+2\left(a_{n-1, n} \lambda-b_{n-1, n}\right) q_{n-1} q_{n}
\end{array}
\]

может быть выражено при помощи меньшего чем $n$ числа независимых переменных (являющихся линейными функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ ). Так как это свойство сохраняется при всяком линейном преобразовании переменных, то отсюда следует, что детерминантное уравнение обладает свойством инвариантности, т. е. если $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$ обозначают некоторые линейные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, а $T$ и $V$, выраженные в переменных $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$, принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2}\left(a_{11}^{\prime}{\dot{q^{\prime}}}_{1}^{2}+a_{22}^{\prime}{\dot{q^{\prime}}}_{2}^{2}+\cdots+2 a_{12}^{\prime} \dot{q}_{1}^{\prime} \dot{q}_{2}^{\prime}+\cdots\right) \\
V=\frac{1}{2}\left(b_{11}^{\prime}{q^{\prime}}_{1}^{2}+b_{22}^{\prime}{q^{\prime}}_{2}^{2}+\cdots+2 b_{12}^{\prime} q_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}+\cdots\right),
\end{array}
\]

то корни детерминантного уравнения $\left\|a_{r s}^{\prime} \lambda-b_{r s}^{\prime}\right\|=0$ совпадают с корнями первоначального уравнения $\left\|a_{r s} \lambda-b_{r s}\right\|=0$.

Но если кинетическая и потенциальная энергии введением нормальных координат приведены к виду:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \\
V=\frac{1}{2}\left(\mu_{1} q_{1}^{2}+\mu_{2} q_{2}^{2}+\cdots+\mu_{n} q_{n}^{2}\right),
\end{array}
\]

то детерминантное уравнение принимает вид:
\[
\left|\begin{array}{ccccc}
\lambda-\mu_{1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda-\mu_{2} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \lambda-\mu_{3} & \ldots & 0 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda-\mu_{n}
\end{array}\right|=0 .
\]

Корни же последнего уравнения суть $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$. Отсюда следует: постоянные $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$, являющиеся коэффициентами при квадратах нормальных координат в выражении потенциальной энергии, суть п корней (простых или кратных) детерминантного уравнения $\left\|a_{r s} \lambda-b_{r s}\right\|=0$, где $a_{r s}$ и $b_{r s}$ – коэффициенты в первоначальных выражениях кинетической и потенциальной энергий.

Задача приведения кинетической и потенциальной энергий к их выражению в нормальных координатах равносильна, очевидно, задаче одновременного приведения двух заданных квадратичных форм с $n$ переменными к суммам квадратов некоторых новых $n$ переменных. Ибо то обстоятельство, что $T$ есть функция от скоростей, а $V$ – от координат, не имеет существенного значения, так как скорости $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ преобразуются по тому же закону, что и координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$.

Из предыдущего может показаться, что такого рода приведение двух квадратичных форм всегда возможно. Это, однако, неверно. Так, например, две квадратичные формы
\[
a x^{2}+b x y+a z^{2} \text { и } c x^{2}+d x y+c z^{2}
\]

не могут быть приведены одновременно к виду:
\[
\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2} \text { и } \alpha \xi^{2}+\beta \eta^{2}+\gamma \zeta^{2},
\]

где $\xi, \eta, \zeta$ – линейные функции от $x, y, z$.
Для того, чтобы две данные квадратичные формы
\[
\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}^{2}+a_{22} x_{2}^{2}+\cdots+2 a_{12} x_{1} x_{2}+\cdots, \\
b_{11} x_{1}^{2}+b_{22} x_{2}^{2}+\cdots+2 b_{12} x_{1} x_{2}+\cdots
\end{array}
\]

могли быть одновременно приведены к виду:
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1} \xi_{1}^{2}+\alpha_{2} \xi_{2}^{2}+\cdots+\alpha_{n} \xi_{n}^{2}, \\
\beta_{1} \xi_{1}^{2}+\beta_{2} \xi_{2}^{2}+\cdots+\beta_{n} \xi_{n}^{2},
\end{array}
\]

необходимо, чтобы элементарные делители определителя $\left\|a_{r s} \lambda-b_{r s}\right\|$ были линейны ${ }^{1}$. Но если одна из двух данных форм будет знакоопределенной (что справедливо для кинетической энергии нашей динамической системы), то элементарные делители всегда линейны, и, следовательно, одновременное приведение к суммам квадратов будет возможным. Этим и объясняется то обстоятельство, что такое приведение в задаче колебаний всегда выполнимо.

Вейерштрасс показал в $1858 \mathrm{r.}^{2}$, что приведение к нормальным координатам для динамической системы всегда возможно. Прежние исследователи (следуя Лагранжу) ошибочно предполагали, что в случае кратных корней детерминантного уравнения нормальные координаты не будут существовать и что в окончательных интегралах уравнений движения время будет входить не только через тригонометрические и показательные функции.