Распространим теперь принцип Гамильтона на голономные динамические системы, силы которых не предполагаются более консервативными. Пусть $T$ означает кинетическую энергию такой системы, а $\sum_{r=1}^{n} Q_{r} \delta q_{r}$ – работу внешних сил при произвольном перемещении $\left(\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}\right)$. Тогда уравнениями движения системы будут:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть $\alpha$ – отрезок траектории, а $\beta$ – отрезок соседней кривой, имеющей те же концы. Будем предполагать, что этим концам на обоих отрезках $\alpha$ и $\beta$ отвечают одинаковые моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$. Обозначим символом $\delta$ изменение, соответствующее переходу от положения на дуге $\alpha$ к положению для того же момента времени на дуге $\beta$. Тогда будем иметь:
\[
\begin{aligned}
& \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta T+\sum_{r=1}^{n} Q_{r} \delta q_{r}\right) d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{\partial T}{\partial q_{r}} \delta q_{r}+Q_{r} \delta q_{r}\right) d t= \\
= & \int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{r=1}^{n}\left\{\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right) \delta q_{r}\right\} d t= \\
= & \int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d}{d t}\left(\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} \delta q_{r}\right) d t=\left[\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} \delta q_{r}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}=0 .
\end{aligned}
\]

Этот результат
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta T+\sum_{r=1}^{n} Q_{r} \delta q_{r}\right) d t=0
\]
(как и теорему § 99, которая представляет его частный случай) называют также принципом Гамильтона.