Главная > РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. ТОМ 9. (Э. УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих теорию неголономных систем.
ЗАДАчА 1. Шар катится по неподвижному шару.
Исследуем движение шероховатого шара радиуса $a$ и массы $m$, который катится под действием силы тяжести по поверхности неподвижного шара радиуса $b$.

Пусть $b, \vartheta$ и $\varphi$ означают полярные координаты точки касания относительно полярной системы с началом в центре неподвижного шара и с полярной осью, направленной по вертикали. Выберем подвижные оси $G A B C$, где $G$ центр движущегося шара, $G C$ – продолжение линии центров шаров, $G A$ горизонталь, перпендикулярная к $G C, G B$ – перпендикуляр к $G A$ и $G C$ в направлении возрастания $\vartheta$.

Относительно этих осей, пользуясь обозначениями предыдущего параграфа, будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
\vartheta_{1}=-\dot{\vartheta}, \quad \vartheta_{2}=-\dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad \vartheta_{3}=\dot{\varphi} \cos \vartheta \\
u=-(a+b) \dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad v=(a+b) \dot{\vartheta}, \quad w=0 \\
T=\frac{1}{2} m\left\{u^{2}+v^{2}+w^{2}+\frac{2 a^{2}}{5}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Если $F$ и $F^{\prime}$ суть компоненты силы, приложенной к точке касания, по направлениям $G A$ и $G B$, то
\[
\begin{array}{c}
X=F, \quad Y=m g \sin \vartheta+F^{\prime}, \\
L=F^{\prime} a, \quad M=-F a, \quad N=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, уравнения движения предыдущего параграфа принимают вид:
\[
\begin{array}{c}
m\left(\dot{u}-v \vartheta_{3}\right)=F=-\frac{2}{5} a m\left(\dot{\omega}_{2}-\vartheta_{1} \omega_{3}+\vartheta_{3} \omega_{1}\right), \\
m\left(\dot{v}+u \vartheta_{3}\right)-m g \sin \vartheta=F^{\prime}=\frac{2}{5} a m\left(\dot{\omega}_{1}-\vartheta_{3} \omega_{2}+\vartheta_{2} \omega_{3}\right), \\
\dot{\omega}_{3}-\vartheta_{2} \omega_{1}+\vartheta_{1} \omega_{2}=0 .
\end{array}
\]

Кроме того, компоненты скорости точки касания по направлениям $G A$ и $G B$ суть $u-a \omega_{2}$ и $v+a \omega_{1}$; поэтому уравнения, выражающие условие отсутствия скольжения точки касания, имеют вид:
\[
u-a \omega_{2}=0, \quad v+a \omega_{1}=0 .
\]

По исключении $F, F^{\prime}$, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ находим:
\[
\dot{u}-v \vartheta_{3}-\frac{2}{7} a \vartheta_{1} \omega_{3}=0, \quad \dot{v}+u \vartheta_{3}-\frac{2}{7} a \vartheta_{2} \omega_{3}-\frac{5}{7} g \sin \vartheta=0, \quad \dot{\omega}_{3}=0 .
\]

Последнее уравнение дает $\omega_{3}=n$, где $n$ – постоянная. Заменяя в первых двух уравнениях $u, v, \vartheta_{1}$ и $\vartheta_{2}$ их выражениями через $\vartheta, \dot{\vartheta}$ и $\dot{\varphi}$, получим:
\[
\begin{array}{c}
(a+b) \frac{d}{d t}(\dot{\varphi} \sin \vartheta)+(a+b) \dot{\vartheta} \dot{\varphi} \cos \vartheta-\frac{2}{7} a n \dot{\vartheta}=0 \\
(a+b) \ddot{\vartheta}-(a+b) \dot{\varphi}^{2} \cos \vartheta \sin \vartheta+\frac{2}{7} a n \dot{\varphi} \sin \vartheta-\frac{5}{7} g \sin \vartheta=0 .
\end{array}
\]

Первое уравнение после умножения на $\sin \vartheta$ может быть непосредственно проинтегрировано и дает:
\[
(a+b) \dot{\varphi} \sin ^{2} \vartheta+\frac{2}{7} a n \cos \vartheta=k,
\]

где $k$ – постоянная. Умножая второе уравнение на $\dot{\vartheta}$, первое уравнение на $\dot{\varphi} \sin \vartheta$ и складывая, мы снова придем к интегрируемому уравнению, из которого получим:
\[
\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{10}{7} \frac{g}{a+b} \cos \vartheta=h,
\]

где $h$ – постоянная. Последнее уравнение есть уравнение энергии.
Исключение $\dot{\varphi}$ из обоих этих непосредственных интегралов дает:
\[
\begin{array}{c}
(a+b)^{2} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\vartheta}^{2}=-\left(k-\frac{2}{7} a n \cos \vartheta\right)^{2}-\frac{10}{7} g(a+b) \sin ^{2} \vartheta \cos \vartheta+ \\
+h(a+b)^{2} \sin ^{2} \vartheta
\end{array}
\]

полагая $\cos \vartheta=x$, получим:
\[
(a+b)^{2} \dot{x}^{2}=h(a+b)^{2}\left(1-x^{2}\right)-\left(k-\frac{2}{7} a n x\right)^{2}-\frac{10}{7} g(a+b) x\left(1-x^{2}\right) .
\]

Полином третьей степени относительно $x$, стоящий в правой части этого выражения, принимает положительное значение при $x=+\infty$, отрицательное при $x=1$ и положительное при некоторых действительных значениях $\vartheta$, т. е значениях $x$, лежащих между -1 и +1 . Поэтому он имеет один корень, больший единицы, и два корня между -1 и +1 . Обозначим эти корни через
\[
\operatorname{ch} \gamma, \quad \cos \beta, \quad \cos \alpha,
\]

где $\cos \beta>\cos \alpha$. Тогда
\[
\left(\frac{10}{7} \frac{g}{a+b}\right)^{\frac{1}{2}}(t+\varepsilon)=\int\{(x-\operatorname{ch} \gamma)(x-\cos \beta)(x-\cos \alpha)\}^{-\frac{1}{2}} d x,
\]

где $\varepsilon$ – постоянная интегрирования. Полагая
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{14}{5} \frac{a+b}{g} z+\frac{1}{3}(\operatorname{ch} \gamma+\cos \beta+\cos \alpha)=\frac{14}{5} \frac{a+b}{g} z+ \\
+\frac{7 h(a+b)^{2}+\frac{4}{7} a^{2} n^{2}}{30 g(a+b)},
\end{array}
\]

ЗАДАчА 3. Шар катится по движущемуся шару.
Рассмотрим движение шероховатого шара радиуса $a$ и массы $m$, катящегося под действием силы тяжести по другому шару радиуса $b$ и массы $M$, вращающемуся вокруг своего закрепленного центра.

Пусть $\vartheta$ и $\varphi$ – полярные координаты точки соприкасания, отнесенные к неподвижной полярной системе координат с началом в центре неподвижного шара и с осью $\vartheta=0$, направленной вертикально вверх. Для составления уравнения движения шара $m$ выберем, как и в первой задаче, подвижную систему координат $G A B C$, где $G C$ есть продолжение линии центров $O G$ обоих шаров, а прямая $G A$ горизонтальна. Обозначим через $\boldsymbol{\vartheta}_{1}, \boldsymbol{\vartheta}_{2}$ и $\boldsymbol{\vartheta}_{3}$ компоненты угловой скорости подвижной системы относительно подвижных осей, а через $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости шара $m$ относительно этих же осей. Тогда, как и в первой задаче:
\[
\begin{array}{c}
\vartheta_{1}=-\dot{\vartheta}, \quad \vartheta_{2}=-\dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad \vartheta_{3}=\dot{\varphi} \cos \vartheta \\
u=-(a+b) \dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad v=(a+b) \dot{\vartheta}, \quad w=0, \\
T=\frac{1}{2} m\left\{u^{2}+v^{2}+w^{2}+\frac{2 a^{2}}{5}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Если компоненты силы, действующей на шар $m$ в точке соприкасания, по направлениям $G A$ и $G B$ суть $F$ и $F^{\prime}$, то
\[
X=F, \quad Y=m g \sin \vartheta+F^{\prime}, \quad L=F^{\prime} a, \quad M=-F a, \quad N=0 .
\]

Поэтому уравнения движения шара $m$ суть:
\[
\begin{array}{c}
m\left(\dot{u}-v \vartheta_{3}\right)=F=-\frac{2}{5} a m\left(\dot{\omega}_{2}-\vartheta_{1} \omega_{3}+\vartheta_{3} \omega_{1}\right), \\
m\left(\dot{v}+u \vartheta_{3}\right)-m g \sin \vartheta=F^{\prime}=\frac{2}{5} a m\left(\dot{\omega}_{1}-\vartheta_{3} \omega_{2}+\vartheta_{2} \omega_{3}\right), \\
\dot{\omega}_{3}-\vartheta_{2} \omega_{1}+\vartheta_{1} \omega_{2}=0 .
\end{array}
\]

Для определения движения шара $M$ выберем другую подвижную систему координат, начало которой совпадает с точкой $O$, а оси параллельны $G A B C$. Обозначим через $\Omega_{1}, \Omega_{2}, \Omega_{3}$ компоненты угловой скорости шара относительно этих осей. Тогда для шара $M$ будем иметь:
\[
T=\frac{1}{2} M \frac{2}{5} b^{2}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}+\Omega_{3}^{2}\right),
\]

и уравнениями движения его будут:
\[
\begin{array}{c}
-\frac{2}{5} b M\left(\dot{\Omega}_{2}-\vartheta_{1} \Omega_{3}+\vartheta_{3} \Omega_{1}\right)=F, \\
\frac{2}{5} b M\left(\dot{\Omega}_{1}-\vartheta_{3} \Omega_{2}+\vartheta_{2} \Omega_{3}\right)=F^{\prime}, \\
\dot{\Omega}_{3}-\vartheta_{2} \Omega_{1}+\vartheta_{1} \Omega_{2}=0 .
\end{array}
\]

Условиями того, что в точке соприкосновения отсутствует скольжение, будут:
\[
u-a \omega_{2}=b \Omega_{2}, \quad v+a \omega_{1}=-b \Omega_{1} .
\]

Для интегрирования этой системы уравнений умножим соответственно уравнения (3) и (6) на $a$ и $b$ и сложим. Тогда, принимая во внимание (7), будем иметь:
\[
a \dot{\omega}_{3}+b \dot{\Omega}_{3}+u \vartheta_{1}+v \vartheta_{2}=0
\]

или
\[
a \dot{\omega}_{3}+b \dot{\Omega}_{3}=0 .
\]

Интегрируя, получим:
\[
a \omega_{3}+b \Omega_{3}=a n,
\]

где $n$ – постоянная.
Кроме того, из уравнений (4) и (7) вытекает, что
\[
-\frac{2}{5} M\left(\dot{u}-a \dot{\omega}_{2}-b \vartheta_{1} \Omega_{3}-\vartheta_{3} v-\vartheta_{3} a \omega_{1}\right)=F .
\]

Исключая отсюда и из (1) $F$ и $\dot{\omega}_{2}+\vartheta_{3} \omega_{1}$, получим:
\[
\frac{7 M+5 m}{2 M}\left(\dot{u}-\vartheta_{3} v\right)=a n \vartheta_{1}
\]

или
\[
\frac{d}{d t}(\dot{\varphi} \sin \vartheta)+\dot{\vartheta} \dot{\varphi} \cos \vartheta-\frac{2 M a n \dot{\vartheta}}{(7 M+5 m)(a+b)}=0 .
\]

Аналогично уравнения (5) и (7) дают:
\[
\frac{2}{5} M\left(-\dot{v}-a \dot{\omega}_{1}-u \vartheta_{3}+a \vartheta_{3} \omega_{2}+b \vartheta_{2} \Omega_{3}\right)=F^{\prime} .
\]

Исключая отсюда и из (2) $F^{\prime}$ и $\dot{\omega}_{1}-\vartheta_{3} \omega_{2}$, получим:
\[
\frac{7 M+5 m}{2 M}\left(\dot{v}+u \vartheta_{3}\right)=a n \vartheta_{2}+\frac{5(M+m)}{2 M} g \sin \vartheta
\]

или
\[
\ddot{\vartheta}-\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \vartheta-\frac{5(M+m) g \sin \vartheta}{(7 M+5 m)(a+b)}–\frac{a n}{a+b} \frac{2 M}{7 M+5 m} \dot{\varphi} \sin \vartheta .
\]

Уравнения (8) и (9), служащие для определения $\vartheta$ и $\varphi$ как функций от $t$, имеют в основном тот же вид, что и уравнения, определяющие $\vartheta$ и $\varphi$ в первой задаче. Действительно, прежние уравнения могут быть получены из (8) и (9), если $M$ предположить очень большим. Поэтому интегрирование может быть выполнено так же, как и там.

ЗАДАчА 4. Однородный шар катится по шероховатой горизонтальной плоскости под действием сил, результирующая которых проходит через центр шара. Показать, что центр шара движется как свободная материальная точка, к которой приложены те же силы, но уменьшенные в отношении $5: 7$.

Задачд 5. Составить уравнения движения шероховатого шара, катящегося под действием силы тяжести по внутренней поверхности прямого круглого цилиндра, ось которого образует с вертикалью угол $\alpha$. Показать, что если для шара $k^{2}=\frac{1}{3} a^{2}$, где $a$ – радиус шара, а $k$ – его радиус инерции, и если шар находится в покое, когда угол, образованный двумя плоскостями, проходящими через ось цилиндра, из которых одна вертикальна, а другая проходит через центр шара, равен $\beta$, то в случае, когда этот угол равен $\vartheta$, центр шара имеет в направлении осей скорость, равную
\[
\frac{1}{3}\left(\frac{3 g b^{2} \cos ^{2} \alpha}{\sin \alpha}\right)^{\frac{1}{2}}\left\{\sin \frac{1}{2} \vartheta \operatorname{arcch}\left(\frac{\cos \frac{1}{2} \vartheta}{\cos \frac{1}{2} \beta}\right)+\cos \frac{1}{2} \vartheta \cdot\left(\frac{\sin \frac{1}{2} \vartheta}{\sin \frac{1}{2} \beta}\right)\right\},
\]

где $b+a$ – радиус цилиндра.
Относительно дальнейших примеров см. Воронец, Math. Ann., т. 70, стр. 410, 1911.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru