Леви-Чивита ${ }^{1}$ установил зависимость, существующую между интегралами динамической системы и некоторыми семействами частных решений уравнений движения.

Рассмотрим сначала систему с некоторым числом циклических координат, и пусть эти циклические координаты будут $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$, а нециклические координаты $-q_{m+1}, q_{m+2}, \ldots, q_{n}$; кинетический потенциал системы обозначим через $L$.
Циклическим координатам соответствуют интегралы:
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=\text { const } \quad(r=1,2, \ldots, m) ;
\]

им соответствует определенная совокупность частных решений системы, а именно совокупность тех стационарных движений (§ 83), для которых $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{m}$ имеют постоянные, произвольно выбираемые значения, а постоянные значения $q_{m+1}, q_{m+2}, \ldots, q_{n}$ определяются из уравнений:
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=m+1, m+2, \ldots, n) .
\]

Так как $m$ постоянных значений величин $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{m}$ и $m$ начальных значений величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ выбираются совершенно произвольно, то имеем $\infty^{2 m}$ таких частных решений. Теорема ЛевиЧивита, к выводу которой мы сейчас переходим, является обобщением этого результата.
Пусть
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

уравнения движения некоторой динамической системы, для которой функция $H$ не содержат явно времени.
Пусть, далее,
\[
F_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, m)
\]

некоторая система $M$ уравнений, которая, будучи разрешена относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m}$, переходит в систему:
\[
p_{r}=f_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{m+1}, \ldots, p_{n}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, m)
\]

и инвариантна относительно уравнений Гамильтона, т. е. дифференцирование уравнений (2) по времени дает уравнения, которые выполняются тождественно в силу уравнений Гамильтона и (2).
${ }^{1}$ Rend. della R. Acc. der Lincei, т. 10, стр. 3, 1901; см. Burgatti, там же, т. 11, стр. 309, 1902.

Эти инвариантные уравнения охватывают отдельные интегралы системы, в этом случае они содержат произвольные постоянные.
В силу инвариантности уравнений (2) имеем:
\[
-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}=\frac{d f_{r}}{d t}=-\sum_{j=m+1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial q_{j}}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} \quad(r=1,2, \ldots, m) .
\]

Полагая
\[
\{V, W\}=\sum_{j=m+1}^{n}\left(\frac{\partial V}{\partial p_{j}} \frac{\partial W}{\partial q_{j}}-\frac{\partial V}{\partial q_{j}} \frac{\partial W}{\partial p_{j}}\right),
\]

отсюда получим:
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{r}}+\left\{H, f_{r}\right\}+\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}} \frac{\partial f_{r}}{\partial q_{s}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, m)
\]

Это уравнение переходит в тождество, если каждую из величин $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ заменить соответствующей функцией $f_{r}$.

Кроме того, мы предполагаем, что уравнения (1) или (2) находятся в инволюции. Это условие дает:
\[
\frac{\partial f_{r}}{\partial q_{s}}-\frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}}\left\{f_{r}, f_{s}\right\}=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, m) .
\]

Обозначим через $K$ функцию, в которую переходит величина $H$, если в ней заменить $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m}$ их значениями $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{m}$. Тогда
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{\partial K}{\partial p_{r}}-\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}} \frac{\partial f_{s}}{\partial p_{r}} \\
\frac{\partial H}{\partial q_{r}}=\frac{\partial K}{\partial q_{r}}-\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}} \frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}}
\end{array}\right\} \quad \begin{array}{c}
(r=m+1, m+2, \ldots, n), \\
\frac{\partial H}{\partial q_{r}}=\frac{\partial K}{\partial q_{r}}-\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}} \frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, m) .
\end{array}
\]

Из (5) следует:
\[
\left\{H, f_{r}\right\}=\left\{K, f_{r}\right\}+\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}}\left\{f_{r}, f_{s}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, m),
\]

что вместе с (6) дает:
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{r}}+\left\{H, f_{r}\right\}=\frac{\partial K}{\partial q_{r}}+\left\{K, f_{r}\right\}+\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}}\left[-\frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}}+\left\{f_{r}, f_{s}\right\}\right]
\]

Вводя это значение величины $\frac{\partial H}{\partial q_{r}}+\left\{H, f_{r}\right\}$ в (3) и используя (4), получим уравнения:
\[
\frac{\partial K}{\partial q_{r}}+\left\{K, f_{r}\right\}=0 \quad(r=1,2, \ldots, m) .
\]

Мы покажем теперь, что система уравнений:
\[
\left.\begin{array}{r}
p_{r}=f_{r}\left(p_{m+1}, p_{m+2}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) \quad(r=1,2, \ldots, m) \\
\frac{\partial K}{\partial p_{r}}=0, \quad \frac{\partial K}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=m+1, m+2, \ldots, n)
\end{array}\right\}
\]

инвариантна относительно уравнений Гамильтона, т. е. что величины:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial K}{\partial p_{r}}\right) \quad \text { и } \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial K}{\partial q_{r}}\right) \quad(r=m+1, m+2, \ldots, n)
\]

обращаются в нуль в силу уравнений (1), (8), (3), (4), (5), (6) и (7).
Из уравнений Гамильтона следует, что
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial K}{\partial p_{r}}\right)=\left\{H, \frac{\partial K}{\partial p_{r}}\right\}+\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial^{2} K}{\partial p_{r} \partial q_{s}} \frac{\partial H}{\partial p_{s}} \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial K}{\partial q_{r}}\right)=\left\{H, \frac{\partial K}{\partial q_{r}}\right\}+\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial^{2} K}{\partial q_{r} \partial q_{s}} \frac{\partial H}{\partial p_{s}}
\end{array}\right\} \quad(r=m+1, \ldots, n)
\]

Дифференцируя (7) и принимая во внимание (8), получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} K}{\partial p_{r} \partial q_{s}}+\left\{\frac{\partial K}{\partial p_{r}}, f_{s}\right\}=0, \\
\frac{\partial^{2} K}{\partial q_{r} \partial q_{s}}+\left\{\frac{\partial K}{\partial q_{r}}, f_{s}\right\}=0
\end{array}\right\} \quad \begin{array}{l}
(s=1,2, \ldots, m ; \\
r=m+1, m+2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Из (5), принимая во внимание (8), вытекает:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=-\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}} \frac{\partial f_{s}}{\partial p_{r}} \\
\frac{\partial H}{\partial q_{r}}=-\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}} \frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}}
\end{array}\right\} \quad(r=m+1, m+2, \ldots, n)
\]
\[
(r=m+1, m+2, \ldots, n)
\]

Поэтому уравнения (9) переходят в
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial K}{\partial p_{r}}\right)=\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}}\left[\frac{\partial^{2} K}{\partial p_{r} \partial q_{s}}+\left\{\frac{\partial K}{\partial p_{r}}, f_{s}\right\}\right] \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial K}{\partial q_{r}}\right)=\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial H}{\partial p_{s}}\left[\frac{\partial^{2} K}{\partial p_{r} \partial q_{s}}+\left\{\frac{\partial K}{\partial q_{r}}, f_{s}\right\}\right]
\end{array}\right\}(r=m+1, m+2, \ldots, n)
\]
\[
(r=m+1, m+2, \ldots, n)
\]

или в силу (10)
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial K}{\partial p_{r}}\right)=0, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial K}{\partial q_{r}}\right)=0 \quad(r=m+1, m+2, \ldots, n) .
\]

Следовательно, система уравнений (1) и (8) инвариантна относительно уравнений Гамильтона.

Выразим теперь при помощи (1) и (8) переменные $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, $q_{m+1}, \ldots, q_{n}$ через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$. Подставляя эти значения в уравнения Гамильтона, в силу инвариантности уравнений (1) и (8), мы получим $m$ независимых уравнений, выражающих $\frac{d q_{1}}{d t}, \frac{d q_{2}}{d t}, \ldots, \frac{d q_{m}}{d t}$ в виде функций от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$; остальные уравнения будут удовлетворяться тождественно. Общее решение этой системы, содержащее $m$ произвольных постоянных, дает $\infty^{m}$ частных решений Гамильтона. Интегрирование этой системы на основании интеграла энергии приводится к интегрированию системы ( $m-1$ )-го порядка. Таким образом, получается теорема Леви-Чивита: Каждой системе из т инвариантных уравнений, находящихся в инволюции и принадлежащих некоторой гамильтоновой системе, соответствует совокупность $\infty^{m}$ частных решений системы Гамильтона, определение которых зависит от интегрирования системы ( $m-1$ )-го порядка.

Если инвариантные уравнения (1) являются интегралами системы, то они содержат $m$ новых произвольных постоянных. Cuстеме из интегралов уравнений Гамильтона, находящейся в инволюции, соответствует в общем случае совокупность $\infty^{2 m}$ частных решений этих уравнений, определение которых зависит от интегрирования некоторой системы ( $m-1$ )-го порядка.
ЗАДАчА 1. Показать, что в динамической системе, определяемой функцией Гамильтона
\[
H=q_{1} p_{1}-q_{2} p_{2}-a q_{1}^{2}+b q_{2}^{2},
\]

интегралу
\[
\frac{p_{2}-b q_{2}}{q_{1}}=\mathrm{const}
\]

соответствуют (по Леви-Чивита) частные решения:
\[
q_{1}=0, \quad q_{2}=e^{-t+\varepsilon}, \quad p_{1}=a e^{-t+\varepsilon}, \quad p_{2}=b e^{-t+\varepsilon},
\]

где $\varepsilon$ – произвольная постоянная.