Леви-Чивита ${}^1$ установил зависимость, существующую между интегралами динамической системы и некоторыми семействами частных решений уравнений движения.

Рассмотрим сначала систему с некоторым числом циклических координат, и пусть эти циклические координаты будут $q_1,q_2,\dots ,q_m$, а нециклические координаты $-q_{m+1},q_{m+2},\dots ,q_n$; кинетический потенциал системы обозначим через $L$.
Циклическим координатам соответствуют интегралы:
$$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_r}=\text{ const }(r=1,2,\dots ,m);$$

им соответствует определенная совокупность частных решений системы, а именно совокупность тех стационарных движений (§ 83), для которых ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$ имеют постоянные, произвольно выбираемые значения, а постоянные значения $q_{m+1},q_{m+2},\dots ,q_n$ определяются из уравнений:
$$\frac{\partial L}{\partial q_r}=0(r=m+1,m+2,\dots ,n).$$

Так как $m$ постоянных значений величин ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$ и $m$ начальных значений величин $q_1,q_2,\dots ,q_m$ выбираются совершенно произвольно, то имеем ${\mathrm{\infty }}^{2m}$ таких частных решений. Теорема ЛевиЧивита, к выводу которой мы сейчас переходим, является обобщением этого результата.
Пусть
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n)$$

уравнения движения некоторой динамической системы, для которой функция $H$ не содержат явно времени.
Пусть, далее,
$$F_r(q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,\dots ,p_n)=0(r=1,2,\dots ,m)$$

некоторая система $M$ уравнений, которая, будучи разрешена относительно $p_1,p_2,\dots ,p_m$, переходит в систему:
$$p_r=f_r(q_1,q_2,\dots ,q_n,p_{m+1},\dots ,p_n)=0(r=1,2,\dots ,m)$$

и инвариантна относительно уравнений Гамильтона, т. е. дифференцирование уравнений (2) по времени дает уравнения, которые выполняются тождественно в силу уравнений Гамильтона и (2).
${}^1$ Rend. della R. Acc. der Lincei, т. 10, стр. 3, 1901; см. Burgatti, там же, т. 11, стр. 309, 1902.

Эти инвариантные уравнения охватывают отдельные интегралы системы, в этом случае они содержат произвольные постоянные.
В силу инвариантности уравнений (2) имеем:
$$-\frac{\partial H}{\partial q_r}=\frac{d{f}_r}{dt}=-\sum _{j=m+1}^n\frac{\partial f_r}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j}+\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_r}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j}(r=1,2,\dots ,m).$$

Полагая
$$\{V,W\}=\sum _{j=m+1}^n(\frac{\partial V}{\partial p_j}\frac{\partial W}{\partial q_j}-\frac{\partial V}{\partial q_j}\frac{\partial W}{\partial p_j}),$$

отсюда получим:
$$\frac{\partial H}{\partial q_r}+\{H,f_r\}+\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}\frac{\partial f_r}{\partial q_s}=0(r=1,2,\dots ,m)$$

Это уравнение переходит в тождество, если каждую из величин $p_1,p_2,\dots ,p_n$ заменить соответствующей функцией $f_r$.

Кроме того, мы предполагаем, что уравнения (1) или (2) находятся в инволюции. Это условие дает:
$$\frac{\partial f_r}{\partial q_s}-\frac{\partial f_s}{\partial q_r}\{f_r,f_s\}=0(r,s=1,2,\dots ,m).$$

Обозначим через $K$ функцию, в которую переходит величина $H$, если в ней заменить $p_1,p_2,\dots ,p_m$ их значениями $f_1,f_2,\dots ,f_m$. Тогда
$$\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial p_r}=\frac{\partial K}{\partial p_r}-\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}\frac{\partial f_s}{\partial p_r}\\ \frac{\partial H}{\partial q_r}=\frac{\partial K}{\partial q_r}-\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}\frac{\partial f_s}{\partial q_r}\end{array}\}\begin{array}{c}(r=m+1,m+2,\dots ,n),\\ \frac{\partial H}{\partial q_r}=\frac{\partial K}{\partial q_r}-\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}\frac{\partial f_s}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,m).\end{array}$$

Из (5) следует:
$$\{H,f_r\}=\{K,f_r\}+\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}\{f_r,f_s\}(r=1,2,\dots ,m),$$

что вместе с (6) дает:
$$\frac{\partial H}{\partial q_r}+\{H,f_r\}=\frac{\partial K}{\partial q_r}+\{K,f_r\}+\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}[-\frac{\partial f_s}{\partial q_r}+\{f_r,f_s\}]$$

Вводя это значение величины $\frac{\partial H}{\partial q_r}+\{H,f_r\}$ в (3) и используя (4), получим уравнения:
$$\frac{\partial K}{\partial q_r}+\{K,f_r\}=0(r=1,2,\dots ,m).$$

Мы покажем теперь, что система уравнений:
$$\begin{array}{r}{p}_r=f_r(p_{m+1},p_{m+2},\dots ,p_n,q_1,\dots ,q_n)(r=1,2,\dots ,m)\\ \frac{\partial K}{\partial p_r}=0,\frac{\partial K}{\partial q_r}=0(r=m+1,m+2,\dots ,n)\end{array}\}$$

инвариантна относительно уравнений Гамильтона, т. е. что величины:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial p_r}\right)\text{ и }\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial q_r}\right)(r=m+1,m+2,\dots ,n)$$

обращаются в нуль в силу уравнений (1), (8), (3), (4), (5), (6) и (7).
Из уравнений Гамильтона следует, что
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial p_r}\right)=\{H,\frac{\partial K}{\partial p_r}\}+\sum _{s=1}^m\frac{{\partial }^{2}K}{\partial p_r\partial q_s}\frac{\partial H}{\partial p_s}\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial q_r}\right)=\{H,\frac{\partial K}{\partial q_r}\}+\sum _{s=1}^m\frac{{\partial }^{2}K}{\partial q_r\partial q_s}\frac{\partial H}{\partial p_s}\end{array}\}(r=m+1,\dots ,n)$$

Дифференцируя (7) и принимая во внимание (8), получим:
$$\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}K}{\partial p_r\partial q_s}+\{\frac{\partial K}{\partial p_r},f_s\}=0,\\ \frac{{\partial }^{2}K}{\partial q_r\partial q_s}+\{\frac{\partial K}{\partial q_r},f_s\}=0\end{array}\}\begin{array}{l}(s=1,2,\dots ,m;\\ r=m+1,m+2,\dots ,n).\end{array}$$

Из (5), принимая во внимание (8), вытекает:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial H}{\partial p_r}=-\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}\frac{\partial f_s}{\partial p_r}\\ \frac{\partial H}{\partial q_r}=-\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}\frac{\partial f_s}{\partial q_r}\end{array}\}(r=m+1,m+2,\dots ,n)$$
$$(r=m+1,m+2,\dots ,n)$$

Поэтому уравнения (9) переходят в
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial p_r}\right)=\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}[\frac{{\partial }^{2}K}{\partial p_r\partial q_s}+\{\frac{\partial K}{\partial p_r},f_s\}]\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial q_r}\right)=\sum _{s=1}^m\frac{\partial H}{\partial p_s}[\frac{{\partial }^{2}K}{\partial p_r\partial q_s}+\{\frac{\partial K}{\partial q_r},f_s\}]\end{array}\}(r=m+1,m+2,\dots ,n)$$
$$(r=m+1,m+2,\dots ,n)$$

или в силу (10)
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial p_r}\right)=0,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial q_r}\right)=0(r=m+1,m+2,\dots ,n).$$

Следовательно, система уравнений (1) и (8) инвариантна относительно уравнений Гамильтона.

Выразим теперь при помощи (1) и (8) переменные $p_1,p_2,\dots ,p_n$, $q_{m+1},\dots ,q_n$ через $q_1,q_2,\dots ,q_m$. Подставляя эти значения в уравнения Гамильтона, в силу инвариантности уравнений (1) и (8), мы получим $m$ независимых уравнений, выражающих $\frac{d{q}_1}{dt},\frac{d{q}_2}{dt},\dots ,\frac{d{q}_m}{dt}$ в виде функций от $q_1,q_2,\dots ,q_m$; остальные уравнения будут удовлетворяться тождественно. Общее решение этой системы, содержащее $m$ произвольных постоянных, дает ${\mathrm{\infty }}^m$ частных решений Гамильтона. Интегрирование этой системы на основании интеграла энергии приводится к интегрированию системы ( $m-1$ )-го порядка. Таким образом, получается теорема Леви-Чивита: Каждой системе из т инвариантных уравнений, находящихся в инволюции и принадлежащих некоторой гамильтоновой системе, соответствует совокупность ${\mathrm{\infty }}^m$ частных решений системы Гамильтона, определение которых зависит от интегрирования системы ( $m-1$ )-го порядка.

Если инвариантные уравнения (1) являются интегралами системы, то они содержат $m$ новых произвольных постоянных. Cuстеме из интегралов уравнений Гамильтона, находящейся в инволюции, соответствует в общем случае совокупность ${\mathrm{\infty }}^{2m}$ частных решений этих уравнений, определение которых зависит от интегрирования некоторой системы ( $m-1$ )-го порядка.
ЗАДАчА 1. Показать, что в динамической системе, определяемой функцией Гамильтона
$$H=q_1{p}_1-q_2{p}_2-a{q}_1^2+b{q}_2^2,$$

интегралу
$$\frac{p_2-b{q}_2}{q_1}=\mathrm{const}$$

соответствуют (по Леви-Чивита) частные решения:
$$q_1=0,q_2=e^{-t+\epsilon },p_1=a{e}^{-t+\epsilon },p_2=b{e}^{-t+\epsilon },$$

где $\epsilon$ — произвольная постоянная.