1. Диск может свободно вращаться вокруг любой горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости. Показать, что геометрическое место точек подвеса, для которых эквивалентный математический маятник имеет заданную длину $L$, состоит из двух окружностей. Показать далее, что если $A$ есть точка одной окружности, $B$ – точка другой, а $L^{\prime}$ – длина математического маятника, соответствующего точке подвеса, лежащей на середине отрезка $A B$, то радиус инерции стержня относительно центра тяжести определяется уравнением:
\[
k^{2} L^{\prime 2}=\left(\frac{1}{2} L^{2}-c^{2}\right)\left(L^{\prime 2}-\frac{1}{2} L^{2}+c^{2}\right),
\]
где $c$ – длина отрезка $A B$.
2. Тяжелое твердое тело может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Какое положение следует придать этой оси, если она должна проходить через наперед заданную точку и если соответствующий математический маятник должен иметь заданную длину? Показать, что ось, удовлетворяющая этим условиям, должна являться образующей некоторого конуса четвертого порядка.
3. Шар радиуса $b$ катится без скольжения под действием силы тяжести по циклоиде:
\[
x=a(\vartheta+\sin \vartheta), \quad y=a(1-\cos \vartheta) .
\]
В начальный момент шар находится в покое и его центр лежит на горизонтали $y=2 a$. Показать, что в наинизшей точке центр шара имеет скорость, определяемую равенством:
\[
V^{2}=\frac{10}{7} g(2 a-b) .
\]
4. Однородный гладкий куб с ребром $2 a$ и массой $M$ расположен симметрично на двух одинаковых досках ширины $b$ и массы $M$, укрепленных на двух стенах, расстояние между которыми равно $2 c$. Показать, что если одна из досок опускается и начинает вращаться вокруг своего ребра, которым она прикреплена к стене, то начальное угловое ускорение куба равно:
\[
\frac{M g(c-a)^{2}(c-b)+\frac{1}{2} m g b(c-a)(c-b+a)}{M(c-a)^{2}\left\{k^{2}+(c-b)^{2}\right\}+I(c-b+a)^{2}},
\]
где $M k^{2}$ – момент инерции куба относительно своего центра, а $I$ момент инерции доски относительно ребра. (Gamb. Math. Tripos, часть 1,1899 .)
5. Однородный стержень массы $M$ и длины $2 a$ движется по горизонтальной плоскости, и один из его концов скользит без трения по неподвижной прямой. Показать, что в момент времени $t$ расстояние $y$ середины стержня от прямой определяется уравнением:
\[
\int_{\frac{y}{a}}^{1}\left(1-\frac{3}{4} x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} d x=\frac{3 I t}{2 M a} .
\]
6. Четыре одинаковых однородных стержня длины $2 a$ соединены идеальными шарнирами в ромб $A B C D$. Шарнир $A$ закреплен неподвижно, а шарнир $C$ может скользить по гладкому вертикальному стержню, проходящему через $A$. В начальный момент шарниры $C$ и $A$ совпадают, а вся система вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси. Показать, что
\[
a \omega^{2} \cos \alpha=3 g \sin ^{2} \alpha,
\]
где $\alpha$ означает половину наименьшего угла между верхними стержнями в последующем движении. (Camb. Math. Tripos, часть 1, 1900.)
7. На гладкой горизонтальной плоскости лежит круглый диск массы $M$. Точка массы $\frac{1}{3} M$ движется на этом диске по окружности радиуса $a$, проходящей через его центр тяжести. В начальный момент точка находится в центре тяжести. Определить движение системы. время поворачивается диск. Показать, что
\[
\operatorname{tg} \frac{1}{2} \varphi=\frac{k}{\left(k^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \operatorname{tg} \frac{\left(k^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{k}\left(\frac{1}{2} \varphi-\vartheta\right),
\]
где $M k^{2}$ – момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно к его плоскости.
8. Твердое тело, свободно движущееся под действием силы тяжести, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости его движения и проходящей через его центр тяжести. Показать, что геометрическое место мгновенных осей вращения есть параболический цилиндр с параметром $\left(\sqrt{4 a}+\frac{\sqrt{2 g}}{\omega}\right)^{2}$ и что вершина этой параболы лежит на высоте $\frac{\sqrt{2 g}}{\omega}$ над вершиной траектории центра тяжести, имеющей параметр $4 a$.
9. Точка массы $m$ находится внутри однородной гладкой трубки, которая может вращаться в вертикальной плоскости вокруг своей середины. В начале движения трубка горизонтальна. Показать, что если $\vartheta$ означает угол наклона трубки относительно вертикали в тот момент, когда ее угловая скорость достигает максимума $\omega$, то
\[
4\left(m r^{2}+M k^{2}\right) \omega^{4}-8 m g r \omega^{2} \cos \vartheta+m g^{2} \sin ^{2} \vartheta=0,
\]
где $M k^{2}$ — момент инерции трубки относительно своей середины, а $r$ расстояние материальной точки от этой середины.
10. Четыре однородных стержня, связанных в концах идеальными шарнирами, образуют параллелограмм, который может двигаться без трения в горизонтальной плоскости, причем одна из его вершин закреплена неподвижно. В начале движения стержни образуют прямые углы, две противоположные стороны имеют угловую скорость $\omega$ и две другие стороны – угловую скорость, равную нулю. Показать, что система имеет угловую скорость $\omega$, когда углы параллелограмма достигают максимума или минимума.
11. Два однородных шероховатых шара одинакового радиуса $a$ и с массами $m$ и $m^{\prime}$ покоятся на гладкой горизонтальной плоскости таким образом, что шар $m^{\prime}$ лежит на наивысшей точке шара $m$. Показать, что если систему привести в движение, то угол $\vartheta$, образованный их общей нормалью с вертикалью, определяется уравнением:
\[
a \dot{\vartheta}^{2}\left(7 m+5 m^{\prime} \sin ^{2} \vartheta\right)=5 g\left(m+m^{\prime}\right)(1-\cos \vartheta) .
\]
12. Однородный стержень $A B$ длины $2 a$ может двигаться по гладкой горизонтальной плоскости. Одним из своих концов стержень прикреплен к гибкой нерастяжимой нити длины $c$, которая другим своим концом прикреплена к неподвижной точке $O$ плоскости. Вначале точки $O, A$ и $B$ лежат на одной прямой и стержню сообщают поступательное движение со скоростью $V$ в направлении, перпендикулярном к нему. Показать, что косинус наибольшего угла, образованного стержнем с нитью при движении, равен $1-\frac{a}{6 c}$.
13. Два стержня длины $2 a$ скреплены своими концами с неподвижной точкой при помощи идеального шарнира. Третий стержень такой же длины может скользить без трения по этим стержням при помощи двух гладких колечек, прикрепленных к его концам. Вначале все три стержня лежат на одной горизонтальной прямой и концы третьего стержня совпадают с серединами первых двух. Стержням сообщают вращение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega$. Показать, что третий стержень под действием тяжести только тогда соскользнет с первых двух, когда
\[
\omega^{2} \leqslant \frac{2 g}{a \sqrt{3}} .
\]
14. Тонкостенный полый цилиндр радиуса $a$ и массы $M$ удерживается в горизонтальном положении на шероховатой плоскости, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту. Внутри цилиндра на образующей, вдоль которой цилиндр касается плоскости, находится насекомое массы $m$, которое в тот момент, когда цилиндр отпускают, начинает ползти с постоянной относительной скоростью $V$. Показать, что цилиндр находится в мгновенном покое, когда радиус, проходящий через насекомое, образует с вертикалью угол $\vartheta$, определяемый уравнением:
\[
V^{2}\{1-\cos (\vartheta-\alpha)\}+a g(\cos \alpha-\cos \vartheta)=\left(1+\frac{M}{m}\right) a g(\vartheta-\alpha) \sin \alpha .
\]
15. Однородная гладкая плоская трубка может вращаться без трения вокруг пересекающей ее оси, лежащей в ее плоскости. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен $I$. Точка массы $m$ движется внутри трубки. В начальный момент точка находилась в точке пересечения трубки с осью вращения и имела скорость $V$, а трубка имела угловую скорость $\Omega$. Показать, что если на систему не действуют никакие внешние силы, то квадрат относительной скорости точки равен:
\[
V^{2}+\frac{I r^{2}}{I+m r^{2}} \Omega^{2},
\]
где $r$ – расстояние точки от оси вращения.
16. Однородный стержень массы $M$ покоится на двух горизонтальных колышках, причем оба его конца выходят за эти колышки. Другой однородный стержень массы $m$ и длины $2 l$ прикреплен к первому при помощи шарнира в точке, лежащей между обоими колышками. В начальный момент второй стержень горизонтален и соприкасается с первым; после этого его отпускают, и он начинает колебаться в вертикальной плоскости, проходящей через первый стержень. Показать, что
\[
(M+m) x+m l \sin \vartheta=m l
\]
и
\[
\left(\frac{4}{3}-\frac{m}{m+M} \cos ^{2} \vartheta\right) l \dot{\vartheta}^{2}=2 g \cos \vartheta,
\]
где $\vartheta$ – угол, образованный вторым стержнем с вертикалью, а $x$ отрезок, на который отодвинулся первый стержень от положения равновесия.
17. Плоская пластинка может свободно вращаться вокруг закрепленной точки своей плоскости. На этой пластинке лежит вторая пластинка, которая может скользить без трения по некоторой прямой первой пластинки. Показать, что между углом поворота $\vartheta$ и величиной $x$ относительного скольжения существует соотношение:
\[
\left(\frac{d x}{d \vartheta}\right)^{2}+P \frac{d x}{d \vartheta}+Q=0,
\]
где $P$ – линейная, а $Q$ – квадратичная функция от $x^{2}$.
18. Маятник состоит из прямолинейного стержня и прикрепленной к его концу круглой вертикальной коробочки. Внутри коробочки находится диск, имеющий форму кругового сегмента. Расстояния центра $C$ коробочки от точки $O$ подвеса маятника и центра тяжести $G$ сегмента суть $l$ и $c$. Показать, что удвоенная работа системы при ее движении из положения равновесия равна:
\[
\left(M k^{2}+m l^{2}\right) \dot{\vartheta}^{2}+m\left(k^{\prime 2}+c^{2}\right) \dot{\varphi}^{2}+2 m c l \cos (\vartheta-\varphi) \dot{\vartheta} \dot{\varphi},
\]
где $M$ и $m$ – массы маятника и сегмента, $k$ – радиус инерции маятника относительно $O, k^{\prime}$ – радиус инерции сегмента относительно $G$, $\vartheta$ и $\varphi$ – углы, образованные $O C$ и $C G$ с вертикалью.
19. На гладкой горизонтальной плоскости находится круглый диск, который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На окружность этого диска намотана нить таким образом, что она имеет свободную прямолинейную часть длины $l$. В конце этой прямолинейной части находится материальная точка массы $m$. Ей сообщается начальная скорость, перпендикулярная к направлению нити так, что нить начинает наматываться на диск. Показать, что если в полученном в результате движении системы нить начнет снова разматываться, то наименьшая длина, которой достигнет ее прямолинейная часть, равна:
\[
\left(l^{2}-a^{2}-\frac{M k^{2}}{m}\right)^{\frac{1}{2}},
\]
где $M$ – масса диска, $a$ – его радиус и $k$ – его радиус инерции.
20. Тележка скатывается вниз по наклонной шероховатой плоскости, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту. Верх тележки параллелен плоскости, и на нем лежит шероховатый шар. Показать, что тележка имеет относительно плоскости ускорение:
\[
\frac{14 M+4 M^{\prime}+14 m}{14 M+4 M^{\prime}+21 m} g \sin \alpha,
\]
где $M$ – масса тележки без колес, $m$ – сумма масс колес (являющихся однородными дисками) и $M^{\prime}$ – масса шара. Трением между колесами и их осями пренебрегаем.
21. Однородный стержень массы $m_{1}$ и длины $2 a$, который может свободно вращаться вокруг своего закрепленного конца, наклонен в начале движения под углом $\frac{\pi}{6}$ к вертикали. К нижнему его концу прикреплен идеальным шарниром второй стержень массы $m_{2}$ и длины $2 a$. В начале движения второй стержень горизонтален и образует с первым тупой угол. Показать, что $3 m_{1}=14 m_{2}$, если середина второго стержня начинает движение под углом $\frac{\pi}{6}$ к вертикали.
22. Однородный круглый диск подвешен при помощи двух симметрично расположенных упругих нитей. Они прикреплены к наивысшей точке диска, образуют с вертикалью углы $\alpha$ и имеют в ненапряженном состоянии длину $c$. Одна из нитей перерезается. Показать, что траектория центра диска имеет в начале движения кривизну:
\[
\frac{c \sin 4 \alpha-b \sin 2 \alpha}{b(b-c)},
\]
где $b$ – длина нитей при положении равновесия.
23. Два стержня $A C$ и $C B$ одинаковой длины $2 a$ связаны в точке $C$ идеальным шарниром. Стержень $A C$ может свободно вращаться вокруг закрепленной точки $A$. Конец $B$ стержня $C B$ связан с точкой $A$ при помощи нерастяжимой нити длины $\frac{4 a}{\sqrt{3}}$. Система находится в равновесии, и нить перерезается. Показать, что радиус кривизны начальной траектории точки $B$ равен:
\[
\frac{4}{181} \sqrt{\frac{41^{3}}{3}} a .
\]
(Camb. Math. Tripos, часть 1, 1897.)
24. Стержень длины $2 a$ удерживается в горизонтальном положении при помощи двух невесомых нитей, перекинутых через два гладких блока, находящихся на одинаковой высоте и на расстоянии $2 a$ друг от друга. К свободным концам нитей подвешены два одинаковых груза, равных половине веса стержня. Одна из нитей перерезается. Показать, что начальная траектория освободившегося конца стержня имеет кривизну $\frac{27}{25 a}$.
25. Тяжелая однородная шероховатая доска может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, отстоящей от центра тяжести на расстоянии $c$. На доске лежит тяжелый шероховатый шар. В начальный момент доска находится в горизонтальном положении, а шар отстоит от оси вращения на расстоянии $b$ в сторону центра тяжести. Показать, что начальная кривизна траектории центра шара равна:
\[
\frac{21 b \vartheta}{5-11 \vartheta},
\]
где $\vartheta=\frac{m b-M c}{m b+M a}, m$ и $M$ – массы шара и доски, $M a b-$ момент инерции доски относительно оси вращения.
26. На невесомом стержне длины $2 c$ находятся две материальные точки массы $m$, расположенные на расстоянии $k$ от середины по обе стороны от нее. К концам стержня привязана нить длины $2 a$, через которую продето колечко массы $m^{\prime}$. Вся система расположена на горизонтальной плоскости. В начальный момент нить натянута таким образом, что колечко находится на продолжении стержня, и ему сообщается начальная скорость перпендикулярно к направлению стержня. Показать, что относительное движение колечка имеет колебательный характер, если
\[
\frac{c^{2}}{k^{2}}>1+\frac{2 m}{m^{\prime}} \text {. }
\]
27. Три однородных одинаковых стержня длины $c$ скреплены в равносторонний треугольник $A B C$, вес которого равен $W$. Однородная штанга длины $2 b$ и веса $W^{\prime}$ прикреплена к точке $C$ таким образом, что она может вокруг нее свободно вращаться. Вся система находится в равновесии, касаясь поверхности гладкого шара радиуса $a$; стержень $A B$ расположен горизонтально и касается поверхности шара, а штанга расположена в вертикальной плоскости, проходящей через центр треугольника $A B C$; штанга и центр треугольника $A B C$ находятся по разные стороны вертикали, проходящей через $C$. Показать, что плоскость треугольника образует с горизонтом угол, косинус которого равен:
\[
\frac{a b \mu+2 c \lambda^{2}}{n \mu\left(a^{2}+\frac{1}{4} c^{2}\right)+\lambda^{2} \mu-2 a b c},
\]
где
\[
\lambda^{2}=a^{2}+\frac{1}{4} c^{2}-\frac{1}{2} b c, \quad \mu^{2}=12 a^{2}-c^{2}, \quad n=\frac{W}{W^{\prime}} .
\]
(Camb. Math. Tripos, часть 1, 1896.)
28. Тело, на которое не действуют никакие силы, движется таким образом, что компонент его угловой скорости по одной из главных осей инерции остается постоянным. Показать, что угловая скорость тела остается постоянной и определить ее компоненты по двум другим осям инерции, предполагая, что моменты инерции относительно этих осей равны между собой.
29. Показать, что герполодии не имеют точек возврата. (Hess.) (Простое доказательство этой теоремы дано Lecornu, Bull. de la Soc. Math. de France, т. 34, стр. 40, 1906.)
30. Показать, что при движении твердого тела вокруг закрепленной точки всякая неразрывно связанная с твердым телом поверхность второго порядка, гомоцикличная к эллипсоиду инерции относительно закрепленной точки, катится без скольжения по некоторой неподвижной поверхности второго порядка, имеющей центр в закрепленной точке и являющейся поверхностью вращения относительно неизменяемой прямой. (Gebbia.)
31. Показать, что при движении по ипсрции твсрдого тсла вокруг закрепленной точки три диаметра эллипсоида инерции относительно закрепленной точки и диаметр взаимного эллипсоида, определяемые соответственно пересечениями неизменяемой плоскости, с главными плоскостями и с плоскостью, перпендикулярной к мгновенной оси вращения, описывают площади, пропорциональные времени, так что ускорение концов этих диаметров направлено к центру. (Siacci.)
32. Тело вращается вокруг закрепленной точки под действием сил, момент которых относительно мгновенной оси вращения равен нулю. Показать, что угловая скорость пропорциональна радиусу-вектору эллипсоида инерции, лежащему на оси вращения. Показать также, что эта теорема остается в силе и тогда, когда тело, вращаясь вокруг закрепленной точки, вынуждено скользить по неподвижной поверхности. (Flye St. Marie.)
33. Плоская пластинка имеет в начальный момент одинаковые угловые скорости $\Omega$ относительно большой и малой осей инерции центра тяжести и не имеет никакой угловой скорости относительно третьей главной оси. Предполагая, что на тело не действуют никакие силы, выразить угловые скорости относительно главных осей инерции через эллиптические функции времени. Показать также, что имеет место соотношение:
\[
\frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}}+2 \Omega\left\{\Omega^{2}-\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} \operatorname{dn}(\Omega t)=\left\{\Omega^{2}-\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}\right\} \operatorname{ctg} \vartheta,
\]
где $\vartheta$ – угол между плоскостью пластинки и какой-нибудь неподвижной плоскостью. (Camb. Math. Tripos, часть 1, 1896.)
34. Тело обладает кинетической симметрией относительно оси, проходящей через закрепленную точку, не совпадающую с центром тяжести. Показать, что при любых начальных условиях движения (за одним лишь исключением) центр тяжести тела никогда не достигает вертикального положения над точкой опоры, и определить его наивысшее поднятие.
35. Показать, что при движении волчка по шероховатой плоскости существует система осей $O \xi \eta \zeta$, движение которой как относительно подвижной системы $O x y z$, так и относительно неподвижной системы $O X Y Z$ является движением Пуансо. В первом случае неизменяемой плоскостью является плоскость, перпендикулярная к оси волчка, а во втором случае – горизонтальная плоскость. (Якоби).
36. Однородное тело вращения вращается вокруг закрепленной точки таким образом, что его движение можно представить как равномерное качение кругового конуса, связанного с телом, по другому такому же конусу, неподвижному в пространстве. Угол раствора конусов равен $2 a$, и ось первого совпадает с осью тела. Показать, что, для того чтобы вызвать такое движение, необходимо к телу приложить пару сил с моментом:
\[
\frac{1}{2} \Omega^{2} \operatorname{tg} \alpha\{C+(C-A) \cos 2 \alpha\}
\]
где $\Omega$ – результирующая угловая скорость, а $C$ и $A$ – главные моменты инерции тела в закрепленной точке. Показать также, что плоскость пары совпадает с плоскостью осей обоих конусов.
37. Вертикальная плоскость равномерно вращается вокруг лежащей на ней вертикальной оси. К одной из точек этой оси прикреплена вершина шероховатого конуса вращения. Прямая соприкасания конуса с плоскостью образует с вертикалью угол $\vartheta$, экстремальные значения которого суть $\beta$ и $\gamma$. Угол раствора конуса равен $2 \alpha$. Показать, что
\[
k^{2}\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}=2 g h \frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos \alpha} \frac{(\cos \vartheta-\cos \beta)(\cos \gamma-\cos \vartheta)}{\cos \beta+\cos \gamma},
\]
где $h$ – расстояние центра тяжести конуса от его вершины, а $k$ его радиус инерции относительно образующей. (Camb. Math. Tripos, часть 1,1896 ).
38. Твердое тело может вращаться вокруг вертикальной оси, относительно которой его момент инерции равен $I$. Другое тело, имеющее форму диска, может вращаться вокруг горизонтальной оси, связанной с телом и пересекающей вертикальную ось. В положении равновесия моменты инерции и девиации диска относительно горизонтальной и вертикальной осей равны соответственно $A, B$ и $F$. Показать, что при движении системы движение первого тела носит колебательный характер с амплитудой колебаний, равной:
\[
\frac{2 F}{\{B(A+I)\}^{\frac{1}{2}}} \operatorname{arctg} \frac{B^{\frac{1}{2}} \sin \alpha}{(A+I)^{\frac{1}{2}}},
\]
где $\alpha$ – угол наклона диска относительно вертикали.
39. Гироскоп состоит из симметричного тяжелого маховика, который может свободно двигаться внутри тяжелой сферической оболочки. Он висит на нити длины $l$, прикрепленной своим концом к оболочке. Центры тяжести маховика и оболочки совпадают. Вся система равномерно вращается с угловой скоростью и вокруг вертикали, по отношению к которой нить и ось гироскопа наклонены соответственно под углами $\alpha$ и $\beta$. Показать, что
\[
\Omega^{2}(l \sin \alpha+a \sin \beta+b \cos \beta)=g \operatorname{tg} \alpha
\]
и
\[
\dot{I} \Omega \sin \beta-A \Omega^{2} \sin \beta \cos \beta=M g \frac{a \sin (\beta-\alpha)+b \cos (\beta-\alpha)}{\cos \alpha},
\]
где $M$ – масса гироскопа, $a$ и $b$ – координаты точки прикрепления нити, отнесенные к осям, из которых одна совпадает с осью маховика, а другая к ней перпендикулярна, $I$ – момент количества движения маховика относительно его оси, $A$ – момент инерции маховика относительно перпендикуляра к его оси. (Camb Math. Tripos, часть I, 1900.)
40. Динамическая система состоит из произвольного числа одинаковых однородных стержней, связанных в концах при помощи идеальных шарниров и лежащих вначале на одной прямой. Произвольной точке системы сообщается импульс, перпендикулярный к стержню. Показать, что если $u, v, w$ означают начальные скорости середин трех последовательных стержней, то $u+4 v+w=0$.
41. Произвольное число однородных стержней, массы которых равны соответственно $A, B, C, \ldots, Z$, связаны в концах идеальными шарнирами и лежат на одной прямой в горизонтальной плоскости. Конец стержня $Z$ свободен, а концу стержня $A$ сообщается скорость $V$ в направлении, перпендикулярном к стержню. Показать, что если скорости шарниров $(A B),(B C), \ldots$ и конца стержня $Z$ обозначить соответственно через $a, b, c, \ldots, z$, то
\[
\begin{array}{c}
0=A(V+2 a)+B(2 a+b), \quad 0=B(a+2 b)+C(2 b+a), \quad \ldots, \\
0=Y(x+2 y)+Z(2 y+z)
\end{array}
\]
и
\[
y+2 z=0 .
\]
42. Шесть одинаковых однородных стержней связаны при помощи идеальных шарниров в правильный шестиугольник. Середине одного из стержней сообщается импульс, перпендикулярный к стержню. Показать, что противоположная сторона шестиугольника начнет двигаться со скоростью, составляющей $\frac{1}{10}$ скорости стороны, к которой приложен импульс. (Camb. Math. Tripos, 1882.)
43. Тело, имеющее закрепленную точку, выводится из состояния покоя при помощи удара. Показать, что начальная ось вращения совпадает с полярой плоскости импульсивной пары относительно эллипсоида инерции.
44. Нулевая точка положительного октанта эллипсоида $\frac{x^{2}}{u^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=$ $=1$ закреплена неподвижно. Показать, что если к октанту приложить импульсивную пару, лежащую в плоскости
\[
\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=\frac{\pi}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right) \frac{z}{c},
\]
то он начнет вращаться вокруг оси $z$.
Эллипсоид вращается вокруг своего центра с угловой скоростью, компоненты которой по главным осям равны $\omega_{1}, \omega_{2}$ и $\omega_{3}$. Центр эллипсоида свободен, а одна из точек $(x, y, z)$ его поверхности внезапно закрепляется. Определить импульсивную реакцию этой точки.
46. Два стержня $A B$ и $B C$, связанные между собой в точке $B$ идеальным шарниром, образуют угол $\alpha$. Точку $A$ внезапно заставляют двигаться параллельно внешней биссектрисе угла $A B C$. Показать, что начальные угловые скорости стержней $A B$ и $B C$ относятся как
\[
\left(2+3 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right):\left(2-15 \sin \frac{\alpha}{2}\right) .
\]
47. Однородный конус вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг образующей. В какой-нибудь момент времени эту образующую делают свободной и вместо нее закрепляют пересекающий ее диаметр основания. Показать, что новая угловая скорость равна:
\[
\left(1+\frac{h^{2}}{8 k^{2}}\right) \omega \sin \alpha
\]
где $h$ – высота конуса, $\alpha$ – половина угла раствора, а $k$ – радиус инерции относительно какого-нибудь диаметра основания.
48. Шероховатый круговой диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости. На этом диске покоится шероховатый конус, вершина которого лежит на оси вращения. Показать, что если диск вращать с угловой скоростью $\Omega$, то конус приобретет кинетическую энергию, равную:
\[
\frac{\Omega^{2}}{2\left\{\frac{\cos ^{2} \alpha}{A}+\frac{\sin ^{2} \alpha}{C}\right\}} .
\]
49. Один конец нерастяжимой нити прикреплен к неподвижной точке, а другой конец – к точке поверхности некоторого тела массы $M$. Тело начинает свободно падать под действием силы тяжести, двигаясь поступательно. Показать, что в тот момент, когда нить натягивается, потеря кинетической энергии вследствие толчка равна:
\[
\frac{V^{2}}{2\left\{\frac{1}{M}+\frac{\lambda^{2}}{A}+\frac{\mu^{2}}{B}+\frac{
u^{2}}{C}\right\}},
\]
где $V$ – компонент скорости тела в направлении нити непосредственно перед толчком, когда нить имеет с телом только одну общую точку; $l, m, n, \lambda, \mu,
u$ – суть координаты нити в момент натяжения, $A, B$ и $C$ – главные моменты инерции тела относительно центра тяжести.
