В последней главе мы показали, что определение движения некоторой голономной динамической системы с конечным числом степеней свободы сводится к разрешению некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ означают координаты, определяющие положение системы в момент времени $t$, а $n$ – число степеней свободы. Тогда система уравнений движения состоит из $n$ дифференциальных уравнений второго порядка с зависимыми переменными $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и с независимым переменным $t$. Порядок системы равен $2 n$ (под порядком системы мы понимаем сумму наивысших порядков производных от зависимых переменных, входящих в уравнения этой системы). Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что число произвольных постоянных интегрирования, входящих в общее решение какой-нибудь системы дифференциальных уравнений, равно порядку этой системы. Следовательно, общее решение какой-нибудь голономной динамической задачи с $n$ степенями свободы содержит $2 n$ постоянных интегрирования.

Всякая система дифференциальных уравнений $k$-го порядка может быть приведена к виду:
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t\right) \quad(r=1,2, \ldots, k),
\]

где $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{k}$ – известные функции их аргументов. Для этой цели следует ввести в качестве новых зависимых переменных $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{k}$ первоначальные зависимые переменные и их производные до наивысшего порядка, встречающегося в первоначальной системе уравнений.
Так, например, система уравнений четвертого порядка
\[
\frac{d^{2} q_{1}}{d t^{2}}=Q_{1}\left(q_{1}, q_{2}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}\right), \quad \frac{d^{2} q_{2}}{d t^{2}}=Q_{2}\left(q_{1}, q_{2}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}\right)
\]
(где $Q_{1}$ и $Q_{2}$ – функции указанных аргументов) подстановкой
\[
x_{1}=q_{1}, \quad x_{2}=q_{2}, \quad x_{3}=\dot{q}_{1}, \quad x_{4}=\dot{q}_{2}
\]

приводятся к виду:
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=x_{3}, \frac{d x_{2}}{d t}=x_{4}, \frac{d x_{3}}{d t}=Q_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right), \frac{d x_{4}}{d t}=Q_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) .
\]

Мы можем, следовательно, рассматривать систему
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t\right) \quad(r=1,2, \ldots, k)
\]

как нормальную форму некоторой системы дифференциальных уравнений $k$-го порядка.

Если некоторая функция $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t\right)$ обладает тем свойством, что $\frac{d f}{d t}$ уничтожается, когда вместо $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ подставить любые функции от $t$, удовлетворяющие вышеуказанным дифференциальным уравнениям, то уравнение
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t\right)=\text { const }
\]

называется интегралом системы. Легко найти условие, при котором некоторая заданная функция $f$ представляет интеграл системы. Ибо из уравнения $\frac{d f}{d t}=0$ вытекает:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \dot{x}_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} \dot{x}_{2}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_{k}} \dot{x}_{k}+\frac{\partial f}{\partial t}=0
\]

или
\[
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} X_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} X_{2}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_{k}} X_{k}+\frac{\partial f}{\partial t}=0 .
\]

Это соотношение должно тождественно выполняться для того, чтобы уравнение
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t\right)=\text { const }
\]

могло быть интегралом нашей системы дифференциальных уравнений.
Иногда интегралом системы называют самую функцию $f$, а не уравнение $f=$ const.

Полное решение системы дифференциальных уравнений $k$-го порядка дается $k$ интегралами
\[
f_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t\right)=a_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k)
\]

с произвольными постоянными $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$, если только эти интегралы независимы, т. е. если ни один из них не является следствием остальных. Ибо, если
\[
x_{r}=\varphi_{r}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, t\right) \quad(r=1,2, \ldots, k)
\]

суть значения $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ как функций от $t, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$, которые можно найти из этих уравнений, и если выбрать некоторую произвольную систему функций $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ от $t$, удовлетворяющих нашим дифференциальным уравнениям, то согласно вышесказанному произвольным постоянным $a_{r}$, следует лишь только придать определенным образом выбранные значения, чтобы уравнения
\[
f_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t\right)=a_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k)
\]

выполнялись для выбранных нами функций $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$. Следовательно, система функций $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ содержится среди функций, определяемых уравнениями $x_{r}=\varphi_{r}$. Таким образом, решение динамической задачи с $n$ степенями свободы сводится к нахождению $2 n$ интегралов некоторой системы дифференциальных уравнений $2 n$-го порядка.
Так, например, уравнение второго порядка
\[
\ddot{q}=-q
\]

имеет два интеграла:
\[
q^{2}+\dot{q}^{2}=a_{1}, \quad \operatorname{arctg} \frac{q}{\dot{q}}-t=a_{2},
\]

где $a_{1}$ и $a_{2}$ – произвольные постоянные. Решение этих уравнений относительно $q$ и $\dot{q}$ дает:
\[
q=a_{1}^{\frac{1}{2}} \sin \left(t+a_{2}\right), \quad \dot{q}=a_{1}^{\frac{1}{2}} \cos \left(t+a_{2}\right) .
\]

Эти уравнения представляют решение нашего дифференциального уравнения.

Мы будем сначала заниматься теми задачами, которые могут быть разрешены в элементарных функциях или в неопределенных интегралах от элементарных функций, т. е. задачами, разрешимыми в квадратурах. Возможность или невозможность решения динамической задачи в квадратурах целиком зависит от вида кинетического потенциала. Настоящая глава посвящена выяснению тех, наиболее часто встречающихся частных видов кинетического потенциала, при которых динамическая задача разрешается в квадратурах.