Мы сейчас покажем, что принцип Гамильтона в несколько измененной формулировке имеет место также и для неголономных систем.

Пусть $n$ координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ неголономной консервативной системы связаны $m$ неинтегрируемыми кинематическими соотношениями:
\[
A_{1 k} d q_{1}+A_{2 k} d q_{2}+\ldots+A_{n k} d q_{n}+T_{k} d t=0 \quad(k=1,2, \ldots, m),
\]

в которых $A_{11}, A_{12}, \ldots, A_{n m}, T_{1}, \ldots, T_{m}$ суть заданные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Если $L$ есть кинетический потенциал, то (§87) движение будет определяться $n$ уравнениями:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=\lambda_{1} A_{r 1}+\lambda_{2} A_{r 2}+\ldots+\lambda_{m} A_{r m} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

вместе с вышенаписанными кинематическими уравнениями. При этом неизвестными величинами являются:
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m} .
\]

Пусть $A B$ – некоторая дуга траектории системы, а $C D$ – кривая, получившаяся из $A B$ после такого перемещения последней, которое совместимо с мгновенными кинематическими уравнениями, т. е. с написанными выше уравнениями, но лишь без членов $T_{k} d t$. Вообще $C D$ не является сама траекторией, которую точка может непрерывно описывать в соответствии с кинематическими условиями; она есть, следовательно, кинематически невозможная траектория.

Здесь сам собою возникает вопрос: почему мы не выбираем за $C D$ кинематически возможную траекторию? На это следует ответить, что тогда переходы от $A B$ к $C D$ не могли бы быть согласованы с кинематическими условиями; в неголономных системах переход между двумя заданными смежными конфигурациями, вообще говоря, кинематически невозможен. Существует значительно (бесконечно) больше возможных смежных положений, чем возможных перемещений из заданного положения.
${ }^{1}$ Cм. Hölder, Gött. Nachr., стр. 122, 1898 и Gott. Nachr., стр. 322, 1900.

Как и при доказательстве принципа Гамильтона в § 99, обозначим через $\delta$ изменение, отвечающее переходу от некоторой точки на дуге $A B$ к соответствующей точке на кривой сравнения $C D$. Составим выражение:
\[
\begin{array}{c}
\int_{C D} L d t-\int_{A B} L d t=L_{B} \Delta t_{1}-L_{A} \Delta t_{0}+ \\
+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{\partial L}{\partial q_{r}} \delta q_{r}\right) d t=L_{B} \Delta t_{1}-L_{A} \Delta t_{0}+ \\
+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{r=1}^{n}\left\{\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) \delta q_{r}-\left(\lambda_{1} A_{r 1}+\ldots+\lambda_{m} A_{r m}\right) \delta q_{r}\right\} d t
\end{array}
\]

Так как перемещения удовлетворяют уравнению:
\[
A_{1 k} \delta q_{1}+A_{2 k} \delta q_{2}+\ldots+A_{n k} \delta q_{n}=0,
\]

то из этого следует, что члены вида $\lambda_{s} A_{r s} \delta q_{r}$ в интеграле взаимно уничтожаются. Поэтому имеем:
\[
\int_{C D} L d t-\int_{A B} L d t=L_{B} \Delta t_{1}-L_{A} \Delta t_{0}+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{r=1}^{n}\left\{\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) \delta q_{r}\right\} d t .
\]

Доказательство заканчивается, как и в $\S 99$, и мы получаем, что принцип Гамильтона имеет место для всех динамических систем как голономных, так и неголономных. При этом кривые сравнения должны получаться из траекторий всегда с такими изменениями, которые не нарушают кинематических уравнений связи. Однако только для голономных систем измененное движение является одновременно и возможным, и если, следовательно, мы сравним действительное движение со смежными движениями, совместимыми с кинематическими условиями связей, то принцип Гамильтона будет справедлив лишь для голономных систем.

Очевидно, то же самое имеет место для принципа наименьшего действия и принципа Гамильтона для неконсервативных систем.